微专题11 二次函数和幂函数-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题11：二次函数和幂函数 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 2．（2021年北京市高考数学试题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【解析】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 3．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【解析】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 3.二次函数解析式的三种形式 一般式 ，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 ，图象的对称轴是x＝h，顶点坐标是(h，k) 零点式 ，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 4. 与二次函数有关的恒成立问题 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是 (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是 (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 题型1：幂函数的定义 【例1】已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______． 【答案】 【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果. 【解析】幂函数可设为，图象过点，则，则， 所以.故答案为：. 【例2】函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________. 【答案】64 【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得. 【解析】令，则，故点； 设幂函数， 则， 则； 故； 故答案为：64. 【例3】若函数是幂函数，且满足，则的值等于__________. 【答案】3 【分析】由题意利用查幂函数的定义和性质，求得得值，可得要求式子的值. 【解析】设幂函数，∵它满足， ∴，求得， 则， 故答案为：3. 【例4】若函数为幂函数，则实数的值为________；当此幂函数在单调递减，则实数的值为_________． 【答案】或 【分析】由幂函数定义可知，由此解得或；将和分别代入，由单调性可确定结果. 【解析】由幂函数定义知：，解得：或； 当时，，此时幂函数在单调递减； 当时，，此时幂函数在单调递增； 当幂函数在单调递减时，. 故答案为：或；. 【例5】已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【解析】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为. 故答案为