微专题10 对数、对数函数-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题10：对数、对数函数 1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【解析】 , 所以; 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当0<x<2时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即; 令,则,, 由于，在x>0时,, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c; 综上，, 故选：B. 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【解析】由，当时，， 则. 故选：C. 3．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【解析】，即. 故选：C. 4．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【解析】，， ，， ，， . 故选：D. 5．（2021年天津高考数学试题）若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【解析】，， . 故选：C. 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型1：对数式的运算 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 【例1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【解析】由可得，所以，所以有，故选：B. 【变式1-1】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 答案　A 解析　2a＝5b＝m， ∴log2m＝a，log5m＝b， ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ∴m2＝10，∴m＝(舍m＝－)． 【例2】计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝____. 答案　4 解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋l