第二章 一元二次函数、方程和不等式（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（人教A版2019） 选拔卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（共40分） 1．（2021·湖南长沙市·周南中学高一月考）设a，b，c，d为实数，且 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 特值法令 即可排除ABC选项错误，利用不等式性质可以判定D选项正确. 【详解】 令 ， ， 所以ABC选项错误； ， 所以 ，所以D选项正确. 故选：D 2．（2021·安徽高一期末）下列命题中，正确的是（ ）． A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ， ，则 【答案】B 【分析】 根据不等式的性质，以及代入特殊值判断选项. 【详解】 A.当 时， ，故A错误； B.当 时， ，即 ，故B正确； C.当 ， ，满足 ，但此时 ，故C错误； D.若 ， ，则 ，得 ，那么 ，故D错误. 故选：B 3．（2021·广西高一期末）若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分别通过作差法比较 的大小关系和 的大小关系，即得结果. 【详解】 ，所以 ， ，所以 ， 故 . 故选：D. 4．（2021·四川高一期末（理））某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为 克，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D．以上都可能 【答案】A 【分析】 设天平的左臂长为 ，右臂长为 ，且 ，设第一次第二次分别称得的中药为 克， 克，根据杠杆原理即可得出等量关系，进而结合均值不等式即可求出结果. 【详解】 设天平的左臂长为 ，右臂长为 ，且 ，设第一次第二次分别称得的中药为 克， 克，则 ， ，从而 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，由于 ，所以 ， 故选：A. 5．（教材变式题）已知正数 满足 ，则 的最大值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】 根据已知等式把代数式 进行变形为 ，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】 ， 因为 ，所以 ， 因此 ， （当且仅当 时取等号，即 时取等号，即 时取等号）， 所以 . 故选：B. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键一是将原式变形，二是基本不等式的使用技巧，三是一定要注意等号成立的条件. 6．（2021·上海市控江中学高一期末）设 ，则 取得最小值时， 的值为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】 转化条件为原式 ，结合基本不等式即可得解. 【详解】 ， 当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立. 故选：A. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A．10 B．11 C．13 D．21 【答案】B 【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】正实数 满足 ， 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即： ，当且仅当 且 ，即 时取等号， 所以 的最小值为11. 故选：B. 【点睛】 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力． 8．（2021·四川高一期末）道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力 满足 ，其中 为安全距离， 为车速（m/s）．若安全距离 取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（ ） A．98 B．111 C．145 D．185 【答案】B 【分析】 结合均值不等式即可求出 的最值. 【详解】 由题意得 ， 由于 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，故选：B 二、多选题（共20分） 9．（2021·浙江高一期末）已知实数a，b，c满足a<b<c，且ac<0，则下列式子一定成立的是（　　） A． B． C． D．ac（a-c）>0 【答案】BD 【分析】 根据题意，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 由题意知，实数 满足 且 ，可