专题12.5 角平分线的性质（能力提升）-2021-2022学年八年级数学上册要点突破与同步训练（人教版）

第十二章 全等三角形 12.5 角平分线的性质（能力提升） 【知识点梳理】 知识点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 知识点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 知识点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 知识点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 知识点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质及判定 例1、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP． （1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM； （2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED． 【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可； （2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可． 【答案与解析】 证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图， ∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P， ∴PQ=PT，PS=PT， ∴PQ=PS， ∴AP平分∠DAC， 即PA平分∠BAC的外角∠CAM； （2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM， ∴∠DAE=∠CAE， ∵CE⊥AP， ∴∠AED=∠AEC=90°， 在△AED和△AEC中 ∴△AED≌△AEC， ∴CE=ED． 【总结升华】