专题12.5 角平分线的性质（基础巩固）-2021-2022学年八年级数学上册要点突破与同步训练（人教版）

第十二章 全等三角形 12.5 角平分线的性质（基础巩固） 【知识点梳理】 知识点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 知识点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 知识点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 知识点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 知识点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质 例1．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN． 【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】 证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN． 【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键． 例2、如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长． 【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利