第二章 一元二次函数、方程和不等式（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 提分小卷 （考试时间：40分钟 试卷满分：70分） 一、单选题（共30分） 1．设，则下列不等式中，恒成立的是（ ） 2．若实数，满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 3．若不等式对任意的恒成立，则（ ） A．， B．， C．， D．， 4．设，且，，则（ ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 5．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A．不存在有序数组，使得 B．存在唯一有序数组，使得 C．有且只有两组有序数组，使得 D．存在无穷多组有序数组，使得 6．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 2、 多选题（共10分） 7．若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 8．（2021·南京航空航天大学苏州附属中学高一月考）已知关于的不等式解集为，则（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 三、填空题（共10分） 9．（实际运用题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里. 10．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题（共20分） 11．（2021·四川高一期末）解关于的不等式. 12．已知a，b，c均为正实数，且满足. 证明：（1）； （2）. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 提分小卷 （考试时间：40分钟 试卷满分：70分） 一、单选题（共30分） 1．设，则下列不等式中，恒成立的是（ ） 【答案】B 【解析】由不等式性质易得，当时，恒成立的是 2．若实数，满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】D 【分析】 先利用完全平方式将已知的等式变形，转化为，结合基本不等式然后利用平方和大于等于0构造不等关系求解即可． 【详解】 解：因为，则有， 所以， 故， 当时，，此时，为方程，即的两个根， 因为，方程有解， 故当时，有最小值， 所以选项A，B，C错误，选项D正确． 故选：D． 3．若不等式对任意的恒成立，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 由选项可知，故原不等式等价于 ，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解 【详解】 由选项可知，故原不等式等价于 ， 当时，显然不满足题意，故， 由二次函数的性质可知，此时必有，即， 故选：B 4．设，且，，则（ ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【分析】 对代数式进行变形处理利用基本不等式即可得解. 【详解】 当无限接近0时，为正数，趋近于正无穷大，所以无最大值， 当且仅当即时取等号，即最小值为2 故选：C 5．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A．不存在有序数组，使得 B．存在唯一有序数组，使得 C．有且只有两组有序数组，使得 D．存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D 【解析】由题意不等式的解集为， 即的解集是， 则不等式的解是或，不等式的解集是，设，，，所以，， 和是方程的两根，则，，又， 所以是的一根，所以存在无数对，使得．故选D． 6．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，结合基本不等式计算的最小值，即可求解. 【详解】 由题意得 ， 当且仅当时取等号．因此，结合，可知． 则符合条件，因此正实数的取值范围是，故选D． 2、 多选题（共10分） 7．若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】 对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 【详解】 因均为正数，