1.5 全称量词和存在量词（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词

（基础知识+基本题型）

知识点一 全称量词与全称命题

1．全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号 “”表示．

2．全称命题

含有全称量词的命题，叫做全称命题．

通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用M表示． 那么，全称命题“对M中任意一个，有成立”，可用符号简记为，读作“对任意属于M，有成立”．

提示

全称量词还有“一切”“ 每一个”“任给的”等．

拓展

(1)有些全称命题中的全称量是省略的，理解时需把它补充出来，例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”实际上应解读为“所有的平行四边形的对角线互相平分” ．

(2)全称命题有固定的格式，即．有些命题既可以理解为全称命题，又可以理解为一般命题．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”也可以解读为“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”

3．全称命题的真假判断

(1)要判定全称命题“”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p (x)成立;

(2)要判定全称命题是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题．

知识点二 存在量词和特称命题

1．存在量词

短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．

2．特称命题

含有存在量词的命题，叫做特称命题．

特称命题“存在M中的元素,使成立” 可用符号记为,,读作“存在M中的元素,使成立” ．

提示

(1)特称命题就是陈述在某些集合中有（存在）一些（个别）元素有某种性质的的命题．

(2)常见的存在量词还有“有一个”“有些”“至少有一个”“存在”等．

3．特称命题的真假判断

(1)要判断特称命题是真命题，只需找到集合M中的一个元素，使成立即可．

(2) 要判断特称命题是假命题，必须对集合M中的任意一个元素验证都不成立．

知识点三 含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

全称命题，它的否定;

特称命题，它的否定．

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题

辨析

“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析：

(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得一个与原命题真假性完全相反的命题; 含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．

(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘出其中的量词．

考点一 全称命题与特称命题的判断

例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题.

（1）xR，x2+1≥1；

（2）所有素数都是奇数；

（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；