1.5 全称量词和存在量词（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 （基础知识+基本题型） 知识点一 全称量词与全称命题 1．全称量词 短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号 “”表示． 2．全称命题 含有全称量词的命题，叫做全称命题． 通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用M表示． 那么，全称命题“对M中任意一个，有成立”，可用符号简记为，读作“对任意属于M，有成立”． 提示 全称量词还有“一切”“ 每一个”“任给的”等． 拓展 (1)有些全称命题中的全称量是省略的，理解时需把它补充出来，例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”实际上应解读为“所有的平行四边形的对角线互相平分” ． (2)全称命题有固定的格式，即．有些命题既可以理解为全称命题，又可以理解为一般命题．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”也可以解读为“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分” 3．全称命题的真假判断 (1)要判定全称命题“”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p (x)成立; (2)要判定全称命题是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题． 知识点二 存在量词和特称命题 1．存在量词 短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． 2．特称命题 含有存在量词的命题，叫做特称命题． 特称命题“存在M中的元素,使成立” 可用符号记为,,读作“存在M中的元素,使成立” ． 提示 (1)特称命题就是陈述在某些集合中有（存在）一些（个别）元素有某种性质的的命题． (2)常见的存在量词还有“有一个”“有些”“至少有一个”“存在”等． 3．特称命题的真假判断 (1)要判断特称命题是真命题，只需找到集合M中的一个元素，使成立即可． (2) 要判断特称命题是假命题，必须对集合M中的任意一个元素验证都不成立． 知识点三 含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称命题，它的否定; 特称命题，它的否定． 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 辨析 “一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析： (1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得一个与原命题真假性完全相反的命题; 含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． (2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘出其中的量词． 考点一 全称命题与特称命题的判断 例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 解： （1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题判断下列命题是全称命题还是特称命题．： 总结：(1)同一个全称命题(特称命题)，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际考中可以灵活地选择． 命题 全称命题 特称命题， 表 述 方 法 ①所有的，成立 ①存在，使成立 ②对一切，成立 ②至少有一个，使成立 ③对每一个，成立 ③对有些，使成立 ④任意，都有成立 ④对某个，使成立 ⑤凡，都有成立 ⑤有一个，使成立 考点二 全称命题与特称命题的表述 例2 用符号“”“ ”表示下列含有题词的命题． (1)实数的平方大于等于0；(2)存在实数对使成立． (3)至少有一个实数使不等式成立． (4) 对所有正实数为正数，且． 解;(1) ， (2) ， ，． (3) (4) ，且 ． 考点三 全称命题与特称命题的真假判断 例3 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。 （1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）； （5）. 解： （1）是全称命题且为真命题. （2）是全称命题且为假命题. （3）是特称命题且为真命题. （4）是全称命题且为真命题.由于都有，故，为真命题； （5）是特称命题且为假命题.因为不存在一个实数，使成立，为假命题； 【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题. 考点四 含有一个量词的命题的否定 例4 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1) ； (2) p：所有的正方