1.4充分条件与必要条件（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.4充分条件与必要条件

（基础知识+基本题型）

知识点一 充分条件与必要条件

1． 命题“若，则”经过推理证明，当断定是真命题时，就说由可以推出，记作，读作“ 推出”；当断定是假命题时，就说由推不出，记作，读作“推不出”．

2． 充分条件与必要条件的定义

拓展

（1）是的充分条件是指“成立可充分保证成立”，但是没有成立，也可能成立．

（2）是的必要条件是指“要使成立，必须要有成立”，或者说“若不成立，则一定不成立”，但即使有成立，也未必会成立．

（3）从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件

：：

若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件
若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件
若，则，互为充分条件和必要条件
若，且，则既不是的充分条件，也不是的必要条件

（4）在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件时，要注意与对结果的影响是不一样的．

知识点二 充要条件

1．充要条件的定义

一般地，如果既有，又有，就记作．此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件．

2．互为充要条件的定义

若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同，因为这两个命题的条件与结论不同．

3．充要条件的等价说法

“是的充要条件”又常说成“当且仅当”或“与等价”

提示

（1）判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下：

条件与结论的关系	结论
，但	是的充分不必要条件
，但	是的必要不充分条件
，且，即	是的充要条件
，且	是的既不充分也不必要条件

（2）灵活利用集合关系判断充分条件与必要条件，可使问题变得易于理解．

知识点三 充要条件的探求与证明

证明是的充要条件，分两步：

（1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；

（2）必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出．综上可得，是的充要条件．

提示

（1）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，那么也可以直接求出充要条件．

（2）充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①若是的充要条件，则由证的是充分性，由证的是必要性．

②若的充要条件是，则由证的是必要性，由证的是充分性．

考点一 充分条件与必要条件的判断

例1．下列各题中，是的什么条件？（在“充分条件不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）

（1）：，：；

（2）对于实数，，：，：或；

解：（1）．

所以是的充要条件．

（2）或，

但是，或．

所以是的充分不必要条件．

充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法：

（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．

（3）逆否法：这是等价法的一种特殊情况．

若，则是的必要条件，是的充分条件；

若，且，则是的必要不充分条件；

若，则与互为充要条件；

若，且，则是的既不充分也不必要条件．