1.4充分条件与必要条件（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.4充分条件与必要条件 （基础知识+基本题型） 知识点一 充分条件与必要条件 1． 命题“若，则”经过推理证明，当断定是真命题时，就说由可以推出，记作，读作“ 推出”；当断定是假命题时，就说由推不出，记作，读作“推不出”． 2． 充分条件与必要条件的定义 若，则为真命题 是充分条件 是必要条件 拓展 （1）是的充分条件是指“成立可充分保证成立”，但是没有成立，也可能成立． （2）是的必要条件是指“要使成立，必须要有成立”，或者说“若不成立，则一定不成立”，但即使有成立，也未必会成立． （3）从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件 ：： 若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件 若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件 若，则，互为充分条件和必要条件 若，且，则既不是的充分条件，也不是的必要条件 （4）在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件时，要注意与对结果的影响是不一样的． 知识点二 充要条件 1．充要条件的定义 一般地，如果既有，又有，就记作．此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件． 2．互为充要条件的定义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同，因为这两个命题的条件与结论不同． 3．充要条件的等价说法 “是的充要条件”又常说成“当且仅当”或“与等价” 提示 （1）判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下： 条件与结论的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 ，且，即 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件 （2）灵活利用集合关系判断充分条件与必要条件，可使问题变得易于理解． 知识点三 充要条件的探求与证明 证明是的充要条件，分两步： （1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出； （2）必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出．综上可得，是的充要条件． 提示 （1）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，那么也可以直接求出充要条件． （2）充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①若是的充要条件，则由证的是充分性，由证的是必要性． ②若的充要条件是，则由证的是必要性，由证的是充分性． 考点一 充分条件与必要条件的判断 例1．下列各题中，是的什么条件？（在“充分条件不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答） （1）：，：； （2）对于实数，，：，：或； 解：（1）． 所以是的充要条件． （2）或， 但是，或． 所以是的充分不必要条件． 充分条件与必要条件的判断方法 （1）定义法： （2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． （3）逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 若，则是的必要条件，是的充分条件； 若，且，则是的必要不充分条件； 若，则与互为充要条件； 若，且，则是的既不充分也不必要条件． （4）集合法：写出集合，及，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． 考点二 充分、必要条件的传递性 例2．已知，都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么： （1）是的什么条件？ （2）是的什么条件？ （3）是的什么条件？ 分析：按，，，的关系画出用“”与“”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系． 解：，，，的关系如图1．2-2所示． （1）由关系图，知，且，所以是的充要条件． （2）因为，，所以是的充要条件． （3）由关系图，知，但，所以是的必要不充分条件． 总结：（1）充分条件、充要条件具有传递性：若，；若，，则． （2）对于较复杂的关系，常用“，，”等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论． 考点三 充要条件的证明 例3．已知，求证：的充要条件是． 证明：必要性：因为，即，所以 ． 所以必要性成立． 充分性：因为， 即， 所以． 又因为，所以且，从而． 所以，即．所以充分性成立． 故原命题成立． 考点四 充要条件的探求 例4．已知关于的方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 分析：一元二次方程有两个实数根等价于判别式，从相应的二次函数的图象上看，两根均大于等价于对称轴在的右侧，并且． 解：令，由的图象（如图1．2-3），知方程原方程有两个大于的实数根等价于， 即，解得． 因为以上过程每一步都是等价的， 所以是使方程有两个大于的实数根的充要条件． 考点五 充分条件、必要条件及充要条件的综合考 例5．已知：关于的不等式，：．若