1.4.1充分条件与必要条件（同步课件）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 人教A版2019 必修第一册 1.4.1 充分条件与必要条件 在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 本节主要讨论这种形式的命题．下面我们将进一步考查“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语—充分条件、必要条件和充要条件． 在命题（1）（4）中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题．在命题（2）（3）中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题． 上述命题（1）（4）中的p是q的充分条件，q是p的必要条件．而命题（2）（3）中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 充分条件：有它就行 必要条件：没它不行 [图1] 例： A C 开关A闭合是灯泡亮的什么条件？ [图2] A C [图3] A 例： 开关A闭合是灯泡亮的什么条件？ 判断（正确的画“√”，错误的画“×”） × × √ × 方法规律：充分条件，必要条件的两种判别方法 思考 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等” ．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q．一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的． 例如，我们知道，下列命题均为真命题： ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形． 所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件． 事实上，例1中命题（1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理．所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形． 类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行” ． 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些q是p的必要条件？ （1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角线分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； 思考 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两条对角分别相等”．这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ 我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． 例如，下列命题都是真命题． ①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等． ③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分． 这表明，“四边形的两组对边分别相等”“ 这个四边形的一组对边平行且相等”“ 四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件． 我们知道，例2中命题（1）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件． 类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件．例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”． 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． $