专题11 分式方程及其应用（知识点串讲）-2021-2022学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题专题11 分式方程及其应用 知识网络 重难突破 一. 分式方程的概念 分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 典例1．下列方程哪些是分式方程？ （1） ；（2） ；（3） ；（4） （a是常数）． 【答案】见解析 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【解析】解：（1） 是分式方程；（2） 是分式方程；（3） 不是分式方程；（4） （a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 二. 解分式方程 1. 解分式方程的一般步骤： ①方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； ②解这个整式方程，求出整式方程的解； ③检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 2. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 典例1．（2021·浙江九年级其他模拟）解分式方程 时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程两边同乘以(x-3)即可解答 【解析】解： 方程两边同乘以(x-3)得， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了解分式方程中的去分母，找出最简公分线是解答此题的关键． 典例2．（2021·江苏扬州市·八年级期末）解方程： （1） （2） 【答案】见解析 【分析】（1）将方程两边同时乘以分母的最简公分母约去分母化为整式方程求解，最后再检验； （2）将方程两边同时乘以分母的最简公分母约去分母化为整式方程求解，最后再检验； 【解析】（1） ， 解：方程两边同时乘以 可得： ， ， ， ， 检验：当 时， ， 所以 是原方程的解． （2） 解：方程两边同时乘以 可得： ， ， ， 检验：当 时， ， 是增根，所以原分式方程无解． 【点睛】本题主要考查解分式方程的方法，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤. 三. 含参数的分式方程 典例1．（2020·四川八年级期末）若关于x的方程 有增根，则m的值是（　　） A．7 B．3 C．4 D．0 【答案】A 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【解析】分式方程去分母得：x+4=m+2x−6， 由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：m=7， 故选A. 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，牢牢掌握增根的概念是解答本题的重难点. 典例2．（2021·无锡市天一实验学校八年级期中）已知关于 的方程 的解是正数，那么 的取值范围为（ ） A． 且 B． C． 且 D． 且 【答案】C 【分析】通过去分母，解分式方程，再根据解为正数，列出关于m的不等式，即可求解． 【解析】解：去分母得，x−2（x−3）＝-m， 化简，得−x＝-m−6， ∴x＝m＋6． 要使方程的根为正数，必须m＋6＞0， 得m＞-6． 又∵x≠3， ∴m＋6≠3，即： ∴ 的取值范围为： 且 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查解分式方程以及不等式，掌握去分母，把分式方程化为整式方程，是解题的关键． 典例3．（2021·重庆南开中学八年级期末）若关于x的不等式组 至少有3个整数解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别解不等式组和分式方程，根据题意可以确定出a的范围，从而得到符合条件的所有整数a的个数． 【解析】解：解不等式组 可得：x>1且x≤ ， ∵不等式组 至少有3个整数解， ∴必须 ， 解之可得：- ， 解 可得： ， ∵关于y的分式方程 有非负整数解， ∴ ， 解之可得：a≥-4②， 由①②可得：- ， ∴符合条件的所有整数a为：0、1、2，共3个， 故选C ． 【点睛】本题考查分式方程与一元一次不等式的综合应用，熟练掌握分式方程、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法是解题关键． 典例4．（2021·西安市铁一中学八年级期末）若关于x的方程 ＝1无解，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】D 【分析】去分母，化分式方程为整式方程（m﹣1）x＝2，分m＝1和m≠1两种情形解答：m＝1时，整式方程无解；m≠1时，分式