专题10 分式的性质与运算（知识点串讲）-2021-2022学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题10 分式的性质与运算 知识网络 重难突破 一、分式的概念及有意义的条件 1. 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 注意：①分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如 是整式而不能当作分式. ②判断一个代数式是否是分式不能先化简，如 是分式，即只看形式，不能看化简的结果. 2. 分式有意义的条件：分母不等于零. 分式无意义的条件：分母等于零. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 注意：必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 典例1．（ 2021陕西省西安市碑林区铁一中学学年八下期中）在代数式 ， ，﹣3x， ， 中，其中是分式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 典例2．（2021·四川省成都市第八中学校八年级月考）分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＝3 D．x≠3 典例3．（2021·贵州毕节市·八年级期末）若分式 的值为零，则x的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 二. 分式的性质 1. 分式的性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）. 注意：①基本性质中B≠0是已知条件中隐含着的条件， M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. ②在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母 的取值范围变大了. 2. 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. ， ， . 典例1.（2021·山西八年级期中）下列式子从左至右的变形一定正确的是（ ） A． B． C． D． 典例2．（2021·河南南阳市·八年级期中）如果把分式 中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍 典例3．（2020·陕西师大附中八年级月考） _______． 三、分式的约分、通分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 注意：①约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积； ②当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 2. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 注意：通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母； 3. 约分和通分的关系：约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 典例1．（2021·河南八年级期末）下列分式是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 典例2．（2020·江苏八年级期中）（1）约分： ； （2）通分： 、 ． 四. 分式的加、减、乘、除、乘方运算 1.同分母分式的加减：分母不变，把分子相加减，即 . 2. 异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减，即 . 注意：①分数线有小括号的作用，每个分式的分子必须作为整体参与运算； ②结果必须化成最简分式. 3. 分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 ，其中 是整式， . 4. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ，其中 是整式， . 5. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即 （ 为正整数）. 注意：分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如 . 6. 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 典例1．（2021·江苏八年级期中）计算：（1） ； （2） ． 典例2. 计算：（1） ； （2） ． 典例3.（2021·贵州毕节市·八年级期末）先化简 ，再求当a＝﹣1时，代数式的值． 五. 负整指数幂 1. 零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即 . 2. 负整数指数幂：任何不等于零的数的 （ 为正整数）次幂，等于这个数的 次幂的倒数，即