专题09 因式分解（知识点串讲）-2021-2022学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题09 因式分解 知识网络 重难突破 一、判断因式分解及因式分解的注意事项 1. 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法互为逆变形. 例如： 注意：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； ②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式； ④相同的因式的积要写成幂的形式． 典例1．（2021·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校七年级月考）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 典例2．（2021·陕西西北工业大学附属中学八年级期末）若多项式x2+mx+n因式分解的结果为（x﹣3）•（x+1），则m，n的值分别为（　　） A．﹣2，﹣3 B．﹣2，3 C．2，﹣3 D．2，3 二. 提公因式法 1. 分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法． 2. 多项式 ，它的各项都有一个公共的因式 ，我们把因式 叫做这个多项式各项的公因式. 即 .式中 可以代表单项式，也可以代表多项式， 注意：提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 3. 确定公因式的方法： 系数：取多项式各项系数的最大公约数； 字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂． 典例1.（2021·陕西榆林市·八年级期末）用提公因式法分解因式2x2y2﹣8x2y4时，应提取的公因式是（　　） A．8x2y4 B．2x2y2 C．2x2y4 D．8x2y2 典例2．（2021·河源市第二中学八年级期中）分解因式： ________ 三、公式法 1. 平方差公式： . 平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. 2. 完全平方公式： ， . 完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍， 右边是两数的和（或差）的平方. 典例1．（2021·广东八年级期末）在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）． A． B． C． D． 典例2．（2021·陕西八年级期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 典例3．（2021·云南八年级期末）分解因式：5x2y﹣20y＝_______________． 典例4．（2021·常熟市实验中学七年级月考）若 ，则代数式 的值等于________． 典例5．简便计算：（1） （2） 四. 十字相乘法 十字相乘法：一个二次三项式 ，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成 ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数 使得： ， ， ， 注意：若 不是一个平方数，则二次三项式 就不能在有理数范围内分解． 典例1．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如： ∴原式 部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如： ∴原式 用十字相乘法分解下列各式： （1） （2） （3） 典例2．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如： ∴原式 部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如： 五. 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 典例1．（陕西省西安市铁一中学2020-2021学年八年级下学期第二次月考数学试题）分解因式： __________． 典例2．（2021·河南平顶山市·八年级期末）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如 ，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2） 的三边 满足 ，判断 的形状． 典例3．（2021·陕西榆林市·八年级期末）先阅读材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解： （1）（a+b）（a+b﹣2