第二十一章 小专题(二) 一元二次方程根的判别式的应用（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】人教版（安徽）

小专题(二)　一元二次方程根的判别式的应用 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是否有实数根,可由根的判别式Δ＝b2－4ac的符号来判定,方法如下:①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;②当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根;③当Δ<0时,方程没有实数根.这一结论反之也成立.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用,使用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式解决问题的前提是这个方程是一元二次方程,即二次项的系数a≠0. 类型1　判断一元二次方程根的情况 1.不解方程,判断下列方程的根的情况. (1)2x2＋3x－4＝0; 解:Δ＝32－4×2×(－4)＝41>0, 所以方程有两个不相等的实数根. (2)3x2＋2＝2x; 解:方程化为一般式为3x2－2x＋2＝0, Δ＝(－2)2－4×3×2＝0, 所以方程有两个相等的实数根. (3)x2＝x－1. 解:方程化为一般式为x＋1＝0, Δ＝<0, 所以方程无实数根. 2.[改编]已知关于x的一元二次方程mx2－(4m＋2)x＋3m＋6＝0.试讨论该方程的根的情况并说明理由. 解:Δ＝[－(4m＋2)]2－4m(3m＋6)＝4m2－8m＋4＝4(m－1)2≥0,∴关于x的一元二次方程mx2－(4m＋2)x＋3m＋6＝0有实数根.当m＝1时,Δ＝0,方程有两个相等的实数根;当m≠1时,Δ>0,方程有两个不相等的实数根. 3.小明同学发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法: 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的系数a,c异号(即两数为一正一负),那么这个方程一定有两个不相等的实数根. 他的发现正确吗?请你先举实例验证一下是否正确.若你认为他的发现是一般规律,请加以证明. 解:小明的发现正确.如x2＋x－2＝0,a＝1,c＝－2,解方程得x1＝－2,x2＝1. 理由:若a,c异号,则Δ＝b2－4ac>0,故这个方程一定有两个不相等的实数根. 类型2　确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围 4.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0(m为实数). (1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围; (2)若m是整数,且方程有两个不相等的整数根,求m的值. 解:(1)由题意得m－1≠0且Δ>0. ∵Δ＝(m－2)2－4(m－1)×(－1)＝m2, ∴m2>0,∴m≠0, ∴m的取值范围为m≠0且m≠1. (2)(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0, 解得x＝, ∴x1＝－1,x2＝, ∵m≠0且m≠1,m为整数,且方程有两个不相等的整数根, ∴m＝2. 5.已知关于x的方程x2－ax＋1＝0有两个相等的实数根,求代数式的值. 解:由已知条件可得a＝2, ∴. 类型3　证明一元二次方程根的情况 6.[改编]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－m－1＝0.求证:不论m取任何实数,方程都有实数根. 证明:Δ＝(2m－1)2－4(－m－1)＝4m2＋5. ∵m2≥0,∴Δ>0,∴不论m取任何实数,方程都有实数根. 7.已知关于x的一元二次方程mx2＋(4m－2)x＋4m－4＝0(m为常数,且m≠0). (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若m为整数,且方程的两个实数根都是整数,求m的值. 解:(1)∵Δ＝(4m－2)2－4m(4m－4)＝4>0, ∴方程总有两个不相等的实数根. (2)x＝, 即x1＝－2＋,x2＝－2. ∵方程的两个实数根都是整数, ∴－2＋为整数,∴整数m的值为±1,±2. 8.已知关于x的一元二次方程x2＋(k－1)x－k2＋k－2＝0. (1)求证:无论k取何值,方程总有两个实数根; (2)若方程两个根均为负数,求实数k的取值范围. 解:(1)∵a＝1,b＝k－1,c＝－k－2, ∴Δ＝(k－1)2－4×1×＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0, ∴不论k取何值,原方程总有两个实数根. (2)由求根公式得x＝, ∴x1＝. ∵方程根均为负数,∴<k<2, 综上所述,实数k的取值范围是<k<2. 类型4　根的判别式和根与系数的关系相结合 9.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－3＝0. (1)求证:无论m取何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2＋x1＋x2＝15,求m的值. 解:(1)Δ＝m2－4(m－3)＝m2－4m＋12＝(m－2)2＋8. ∵(m－2)2＋8>0,即Δ>0, ∴无论m取何值,该方程总有两个不相等的实数根. (2)根据题意,得x1＋x2＝m,x1x2＝m－3, ∴2x1x2＋x1＋x2＝2(m－3)＋m＝15,解得m＝7. 10.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根. (1)