4.5 函数的应用（二）-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 学习导航 1、 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型。 2、 能借助函数单调性及图象判断零点个数。 3、 掌握二分法的实施步骤。 4、 能利用已知函数模型求解实际问题。 5、 能自建确定性函数模型解决实际问题。 教学过程 一、三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 例题1 1．下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（ ） A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳 B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快 C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳 D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快 【答案】C 【分析】 作出三个函数的图象，由此可得出结论. 【详解】 观察函数、、在区间上的图象如下图所示： 函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢； 函数在区间上，递减较慢，且越来越慢． 同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢． 函数的图象递减速度比较平稳． 故选：C. 二、函数的零点 1、概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2、函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 例题2 2．函数的零点是（ ） A． B．和 C．和 D．以上都不是 【答案】C 【分析】 当时对应的的值即为所求的零点. 【详解】 令，即，解得：或， 的零点是和. 故选：. 3、 二分法 1、 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、 用二分法求函数f(x)零点近视值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间 (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 例题3 3．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，则函数的一个精确度为 0．1的正实数零点的近似值为（ ） A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】 根据二分法定义计算即可得到答案. 【详解】 已知则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值． 故选:C. 4、 几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 例题4 4．衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为：.已知新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（ ） A．125 B．100 C．75 D．50 【答案】C 【分析】