4.4 对数函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 学习导航 1、 理解对数函数的概念. 2、 会求与对数函数有关的定义域问题. 3、 初步掌握对数函数的图象和性质. 4、 掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 5、 会解简单的对数不等式．.. 教学过程 一、对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 例题1 1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 根据对数函数的概念确定正确选项. 【详解】 形如（且）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有个. 故选：B 二、对数函数的图像和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 例题2 2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由得到的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可. 【详解】 因为函数， 所以函数， 当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A； 当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B； 当时，，排除C， 故选：D． 三、反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 例题3 3．函数的反函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由求得的范围，并由解得，由此可求得原函数的反函数. 【详解】 因为，所以，， 由可得， 因此，函数的反函数是. 故选：C. 4、 对数型函数的性质和应用 1．y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定) (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． 2．logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性． (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 例题4 4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D． 【答案】A 【分析】 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】 两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 课时训练 1．函数f(x)＝的单调递增区间为（ ） A．(－∞，－2) B．(－∞，) C．(－2，) D．(5，＋∞) 【答案】A 【分析】 求出函数的定义域，转化为求函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，根据二次函数单调性可求出结果. 【详解】 由题意，得x2－3x－10>0， ∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5． 令u＝x2－3x－10， 函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，－2). 故选：A． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 解不等式组得出定义域. 【详解】 函数有意义等价于，所以定义域为 故选：D． 3．在b＝log3a－1(3－2a)