4.2 指数函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 学习导航 1、 理解指数函数的概念。 2、 掌握指数函数的图象和性质。 3、 学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域。 4、 能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题。 5、 能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题；会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题。 教学过程 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 例题1 1．下列各函数中，是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用指数函数的定义，形如：即可求解. 【详解】 解：根据指数函数的定义知，， A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误； D正确. 故选：D 二、两类指数模型 1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 3、 指数函数的图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 例题2 2．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据单调递增可排除AC，再根据与y轴交点位置可排除B. 【详解】 ，则单调递增，故排除AC； 对于BD，单调递减，则，与y轴交于0和1之间，故排除B. 故选：D. 4、 比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 例题3 3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】 ∵y＝0.2x为R上的减函数，y＝2x为R上的增函数. ∴a＝0.20.5＜0.20.2＝c＜1＝0.20＝20＜20.2＝b 故b＞c＞a， 故选：C 5、 解指数方程、不等式 1、简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解． (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 2、指数函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 例题4 4．若函数y＝ (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 先分析得到a＞1，再求出a=2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】 由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]， 所以a>1， y＝在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f(0)＝＝1，f(1)＝0， 所以a＝2， 所loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3. 故选C 课时训练 1．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据复合函数的单调性可得出内层函数为上的减函数，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 令，由于函数在上是减函数， 外层函数为上的增函数，则内层函数为上的减函数， 所以，，解得. 故选：A. 2．设函数的定义域为，函数的值域为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 解不等式得，由指数函数的性质得，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】 函数定义域满足：，即，所以， 函数的值域， 所以. 故选：A． 3．已知，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】 由可得出， ，， ，， 所以， 故选：D． 4．已知函数则不等式的解集为（ ）