4.1 指数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数 学习导航 1、 理解n次方根、根式的概念。 2、 能正确运用根式运算性质化简求值。 3、 通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识。 4、 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 教学过程 一、n次方根，根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 例题1 1．若，，给出下列式子：① ；② ；③ ；④．其中恒有意义的式子的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据根指数是偶数被开方数非负根式有意义，根指数是奇数被开方数是任何实数都有意义，即可判断① ② ③ ④是否正确，进而可得正确答案. 【详解】 根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义； 当时，，此时④无意义； 所以恒有意义的是①③， 故选：B 二、根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 例题2 2．下列各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据指数幂的运算计算出结果即可判断. 【详解】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误; 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3、 分数指数幂 1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 例题3 3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A．= B． = C． D． 【答案】C 【分析】 根据分数指数幂定义直接判断选择. 【详解】 = = 故选：C 4、 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 5、 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 课时训练 1．设，则下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据指数的运算性质，直接判断即可得解. 【详解】 对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B. 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别进行计算即可. 【详解】 解：对于A，，故原题计算错误； 对于B，，故原题计算错误； 对于C，，故原题计算错误； 对于D，，故原题计算正确； 故选：D. 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】 根据指数函数定义列不等式，解得结果. 【详解】 由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且. 故选：C 4．的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意结合幂的运算即可得解. 【详解】 原式=. 故选：C. 5．已知，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意判断的符号，再由即可得解. 【详解】 当时，，，此时； 当时，，，此时. ，因此. 故选：C. 6．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 通过有理数指数幂的运算，可求出，然后再求. 【详解】 解：由得，， 则， . 故选：A. 7．化简的结果为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】 先将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算即可得解. 【详解】 解：由， 故选B. 8．化简得（ ） A．6 B． C．6或 D．6或或 【答案】C 【分析】 根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【详解】 ， 故选：C 9．下列等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用根式的性质逐一考查所给的选项. 【详解】 A中，当，时等式不成立； B中