3.4 函数的应用（一）-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数概念与性质 3.4 函数的应用（一） 学习导航 1、 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用， 2、 能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 教学过程 一、常见的几类函数模型 1、一次函数模型：f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 例题1 1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ） A．310元 B．300元 C．390元 D．280元 【答案】B 【分析】 利用已知条件列方程，化简求得正确选项. 【详解】 依题意，解得. 故选：B 2、二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 例题2 2．如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设，可证明、，从而可求、，从而可得所求梯形的面积表达式为，从而可求其最小值. 【详解】 如图， 过作与，则，连，交于， 则由折叠知，与关于直线对称，即， 有，，， ∵，，∴， ∴， 设，则，， 代入上式得：， ∵，， ∴，在和中， ∵，∴，∴， 故， ∴梯形的面积为 ， 得当时，梯形面积最小，其最小值， 故选：B． 3、分段函数模型：f(x)＝ 例题3 3．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下： 级数 一级 二级 三级 每月应纳税所得额元（含税） 税率 3 10 20 现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A．1800 B．1000 C．790 D．560 【答案】C 【分析】 由题意分段计算李某的个人所得税额； 【详解】 解：李某月应纳税所得额（含税）为：元， 不超过3000的部分税额为元， 超过3000元至12000元的部分税额为元， 所以李某月应缴纳的个税金额为元． 故选：． 4、幂函数模型：f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 课时训练 1．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】 由题设有， 由得，故选A. 2．为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数最少为（ ） A．5 B．6 C．11 D．12 【答案】C 【分析】 由奇函数的性质及函数的周期性即可得方程的解，即可得解. 【详解】 因为为定义在上周期为2的奇函数， 所以，， 所以，，，， 所以， 所以，即， 所以，，，，. 所以函数在上零点的个数为11. 故选：C. 3．若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出矩形的面积关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最值及其对应的值. 【详解】 矩形另一边长为，且有， 面积为，所以，当时，取最大值． 故选：C. 4．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ） A．2 000套 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 【答案】D 【分析】 列出利润的表达式再求解的解即可. 【详解】 因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套. 故选：D 5．已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)的两个零点，则α，β，a，b的大小关系是（ ） A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 【答案】A 【分析】 设g(x)＝(x－a)(x－b)，根据函数y＝(x－a)(x－b)＋2与g(x)图象关系确定零点大小关系，即可判断选择. 【详解】 设g(x)＝(x－a)(x－b)， 则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象， 由图易知a<α<β<b. 故选：A 6．用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为　　 A