3.3 幂函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数概念与性质 3.3 幂函数 学习导航 1、 了解幂函数的概念. 2、 掌握y＝xα的图象与性质. 3、 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． 教学过程 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 例题1 1．给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 由幂函数的定义即可判断. 【详解】 由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数， 则可知①和④是幂函数. 故选；B. 二、五个幂函数的图形与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数 （1）y＝x； （2）y＝ ； （3）y＝x2； （4）y＝x－1； （5）y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 例题2 2．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果． 【详解】 由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数， 故选：A． 3、 一般幂函数的图像特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 例题3 3．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A．的定义域为 B．在其定义域上为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】B 【分析】 用待定系数法求出，即可得出结论. 【详解】 设幂函数，点代入得，， 解得， 根据幂函数的性质可得，选项B正确. 故选:B 课时训练 1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【分析】 利用幂函数的性质逐一验证选项即可． 【详解】 当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当或时，满足函数y＝xα的定义域为R， 故选：A. 2．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ） A．[-1，+∞) B．[0，+∞) C．(-∞，+∞) D．(-∞，0) 【答案】B 【分析】 根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可. 【详解】 设幂函数为f(x)=xα， 因为幂函数的图象过点(3， )， 所以f(3)=3α==， 解得α=， 所以f(x)=， 所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞). 故选：B 3．给出幂函数：①；②；③；④；⑤.其中满足条件的函数的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 条件表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答． 【详解】 如图，只有上凸函数才满足题中条件，在第一象限内，函数是一条直线，函数，和的图像是凹形曲线，而函数的图像是上凸的，所以只有④满足，其他4个都不满足. 故选：A. 4．幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上为减函数，则实数m的值为（ ） A．m＝2 B．m＝﹣1 C．m＝2 或m＝﹣1 D．且m≠ 【答案】A 【分析】 根据题意列出不等式,求其交集即可. 【详解】 ∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上为减函数， ∴m2﹣m﹣1＝1，﹣5m﹣3＜0， 解得m＝2． 故选：A． 5．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】 幂函数的图像过点， ，解得， ， 的值域是. 故选：D. 6．设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查的是幂函数的性质，将分别代入判断函数的定义域与奇偶性即可.