3.2 函数的基本性质-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数概念与性质 3.2 函数的基本性质 学习导航 1、 了解函数的单调区间、单调性等概念；会划分函数的单调区间，判断单调性；会用定义证明函数的单调性． 2、 了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.；会借助单调性求最值；掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法． 3、 了解函数奇偶性的定义；掌握函数奇偶性的判断和证明方法；会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 4、 掌握用奇偶性求解析式的方法；理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式． 教学过程 一、增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 例题1 1．下列函数在定义域上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对于A，在，上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，B错误； 对于C，在上单调递减，C错误； 对于D，在上单调递增，D正确. 故选：D. 二、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 例题2 2．函数在区间(2，4)上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】C 【分析】 函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增. 故选：C 3、 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 例题3 3．已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ） A．a2+1 B．a+ C．a- D．a- 【答案】D 【分析】 函数f(x)=x2+|x-a|= 当x≥a>时， 函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2； 当x<a时， f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-. 因为a2-=a2-a+=>0. 所以a2>a-. 所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-. 故选：D 4、 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)， 　ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)， 　ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 例题4 4．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上（ ） A．递减 B．递增 C．先减后增 D．先增后减 【答案】C 【分析】 y＝|x＋2|＝，即可作出y＝|x＋2|的图像，如图所示 易知在[－3,－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数 故选：C 5、 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1、理解函数的奇偶性应关注三点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既