3.1 函数的概念及其表示-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 学习导航 1、 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2、 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3、 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 4、 会判断两个函数是否为同一个函数；能正确使用区间表示数集. 5、 会求一些简单函数的值域． 6、 了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 7、 会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质． 教学过程 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 例题1 1．下列图形中，不可能是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值， 表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点． 所以D不是函数图像． 故选：D 二、区间 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 例题2 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 欲使函数有意义，则 ，即 解得 故选：C. 3、 同一个函数 1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同． 2．结论：这两个函数为同一个函数． 例题3 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 对于A，和的定义域和对应关系均相同，故为同一函数，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故A错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故D错误， 故选：A. 四、常见函数的值域 1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 例题4 4．已知的值域为，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 当，， 所以当时，， 因为的值域为R， 所以当时，值域最小需满足 所以，解得， 故选：C 五、函数的表示法 函数三种表示法的优缺点比较 例题5 5．函数的图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由图象知，当时，，故排除B，C；又当时，，故排除D． 故选：A. 六、分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 例题6 6．设f（x）＝，若f（a）＝，则a＝（　　） A． B． C．或 D．2 【答案】C 【分析】 解：∵，， ∴由题意知，或， 解得或. 故选：C． 课时训练 1．若f(x)=2x-1，则f(f(x))=（ ） A．2x-1 B．4x-2 C．4x-3 D．2x-3 【答案】C 【分析】 将f(x)看成一个整体即可计算f(f(x))． 【详解】 因为f(x)=2x-1， 所以f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1=4x-3 故选：C 2．函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=，若f（1）=-5，则f(f(5))=（ ） A．2