第2章 章末综合提升-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步课件PPT(人教B版)

第二章 平面解析几何 章末综合提升 * * 提 升 层 题 型 探 究 * * 直线方程及其应用 * 【例1】　过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． [思路探究]　已知直线过定点A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知．求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面积为5列方程，求直线的斜率． * * [解]　由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝k(x＋5)，交x轴于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5，0))，交y轴于点(0，5k－4)， S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5))×|5k－4|＝5， 得25k2－30k＋16＝0(无实根)，或25k2－50k＋16＝0， 解得k＝eq \f(2,5)或k＝eq \f(8,5)， 所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0． * * 1．求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况． 2．运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单． * * eq \o([跟进训练]) 1．过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程． [解]　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意； * * (2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k， 则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2． 令y＝0，分别得x＝－1，x＝－eq \f(2,k)． 由题意得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,k)))＝1，即k＝1． 则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2， 即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0． 综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0． * 直线的位置关系 * 【例2】　已知两条直线l1: (3＋m)x＋4y＝5－3m，l2 : 2x＋(5＋m)y＝8．当m分别为何值时，l1与l2： (1)平行？ (2)垂直？ [思路探究]　已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解． * * [解]　(1)由 (3＋m)(5＋m)－8＝0，解得m＝－1或m＝－7． 经过验证：m＝－1时两条直线重合，舍去． ∴m＝－7时，两条直线平行． (2)m＝－5时，两条直线不垂直． m≠－5时，由两条直线相互垂直可得：－eq \f(3＋m,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5＋m)))＝－1，解得m＝－eq \f(13,3)． ∴m＝－eq \f(13,3)时两条直线相互垂直． * * 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0． * * (1)l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况； (2)l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值． * * eq \o([跟进训练]) 2．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0． (1)求过点A，且和直线l平行的直线方程； (2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程． * * [解]　(1)因为所求直线与l：3x＋4y－20＝0平行， 所以设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0． 又因为所求直线过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋m＝0， 所以m＝－14，所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0． (2)因为所求直线与直线l：3x＋4y－20＝0垂直， 所以设所求直线方程为4x－3y＋n＝0． 又因为所求直线过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋n＝0， 所以n＝－2，所以所求直线方程为4x－3y－2＝0． * 距离问题 * 【例3】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等． * * [解]　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0． 即a2－a－b＝0． ① 又点(－3，－