2.2.1 直线的倾斜角与斜率-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步课件PPT(人教B版)

第二章 平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 * * * 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点) 5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点) 1．通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养． * 情 景 导 学 探 新 知 * * * 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？ * 逆时针 正角 0° * 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按 方向旋转到与直线重合时所转的最小 记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 ． (3)倾斜角α的范围为 ． [0°，180°) * 90° 0° * 2．直线的倾斜角与斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝ ． (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝ ． (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝eq \f(y2－y1,x2－x1)． * * 思考1：当x1≠x2且y1＝y2时，(3)式中的式子成立吗？ [提示]　成立． * x1≠x2 k＝tan θ θ＝90° * (4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称 为直线l的斜率，当 时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当 时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)． * * 思考2：运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A、B的顺序吗？ [提示]　kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kBA＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关． * * 思考3：直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？ [提示]　不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． * 平行或重合 共线 (x2－x1，y2－y1) * 3．直线的方向向量 (1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \o(AB,\s\up14(→))＝ 是直线l的一个方向向量． * * 思考4：设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ [提示]　(1,1)． * * (4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则： ①当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°． ②当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝ ，tan θ＝ ． eq \f(v,u) eq \f(v,u) * * 4．直线的法向量 一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l． * * 思考5：如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ [提示]　(2,1)． * * 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． (　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． (　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线． (　　) (4)斜率公式与两点的顺序无关． (　　) (5)直线的方向向量与法向量不唯一． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ * * [提示]　(1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)正确．确定平面直角坐标系内的一