2.2基本不等式（专题强化卷）-2021-2022学年高一数学课堂精选（人教版A版2019必修第一册）

2.2基本不等式（专题强化卷）（解析版） 一、选择题 1.已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为（  ） A.       B.       C. 6        D.  【答案】B 【解析】【解答】由题可知， （当且仅当时取等号）， 所以x＋y的最小值为。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出x＋y的最小值。 2.“”是“函数的最小值大于4”的（   ）． A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件 C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【解答】解：若，则的最小值为； 若的最小值大于4，则，且，则， 故答案为：C． 【分析】若时，根据基本不等式可求出的最小值，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案。 3.若，则函数的最大值为（   ） A. -5     B. -4      C. 3     D. 4 【答案】A 【解析】【解答】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为-5. 故答案为：A. 【分析】根据题意首先整理化简原式再由基本不等式即可求出最大值。 4.已知正数，满足，则的最小值为（    ） A.       B. 2      C.          D. 6 【答案】B 【解析】【解答】由题得 当且仅当时取等. 所以的最小值为2. 故答案为：B 【分析】化简，再利用基本不等式即可得出答案。 5.已知正数a，b满足，则的最小值等于（   ） A. 4      B.        C. 8      D. 9 【答案】D 【解析】【解答】因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等式成立， 故答案为：D． 【分析】由题意可知，故，利用基本不等式计算可知  的最小值。 6.已知，，且，则的最小值是（   ） A. 6       B. 8    C. 12        D. 16 【答案】B 【解析】【解答】解：由a-3b+2ab=0得，又因为a>0，b<0，则， 则 （当且仅当即a=2，b=-2时，等号成立）， 故3a-b的最小值为8. 故答案为：B 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 二、填空题 7.已知，，且，则的最大值是________． 【答案】 【解析】【解答】解：因为，，且，所以，， 当时，取最小值， 所以取最大值， 故的最大值是. 故答案为：. 【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式计算出最值即可。 8.已知实数，，，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】【解答】解：实数，，， 则， 当且仅当，时，取等号， 的最小值为：3． 故答案为：3． 【分析】根据题意首先整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。 9.已知a，b，时，有，利用分拆､重组､配对使用基本不等式求出最值.依此启示，当a，b，时，的最小值为________. 【答案】 【解析】【解答】， 。 故答案为：。 【分析】利用分拆､重组､配对使用基本不等式求出最值，从而变形求出当a，b，时，的最小值。 10.若，，且，则的最小值是________，当且仅当________时，取得最值. 【答案】8； 【解析】【解答】解：因为，，且，所以 ，当且仅当，即，时取等号； 故答案为：8， 【分析】首先整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值，以及取得最小值时，x与y的值。 三、解答题 11.已知均为正数，且满足证明： （1）； （2）． 【答案】（1）由基本不等式可知， 当且仅当时，等号成立． （2）因为， 所以三式相加可得 故只需证明，即证 由（1）可知上式成立，故不等式当且仅当时，等号成立 【解析】【分析】(1)利用基本不等式即可得证出结论。 (2)根据题意由基本不等式即可得证出结论。 12.已知是正实数. （1）证明：； （2）若，证明：. 【答案】（1）证明：因为， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立. （2）解： ， 当且仅当时，等号成立. 【解析】【分析】(1)根据题意由基本不等式即可得证出结论。 (2)首先整理原式再由基本不等式即可得证出结论。 13.已知. （1）当时，求证：； （2）求的最小值. 【答案】（1）解：因为 所以， 当且仅当等号成立， . （2）解：因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以原式的最小值为. 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出。 （2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出的最小值。 14.   （1）已知y＞2，，求x的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）解：已知，可得. 由于，所以可得. （2）解：由题可得， ， 当且仅当时取等号， 故的最小值