21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（精品课件）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】人教版（安徽）

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x= (b2-4ac≥ 0) 算一算 （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 X1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0 3 4 12 7 1 -3 - 4 - 4 -1 -2 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2= （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件 为b2-4ac≥0 韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 一元二次方程根与系数关系的证明： X1+x2= + = = X1x2= ● = = = 如果方程x2+px+q=0的两根是 x1 ，x2，那么x1+x2= , x1x2= －P q 推论 例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： ① ② 解：① ② 我能行1 原方程可化为： 二次项不是1，可以先把它化为1 ∴ 答：方程的另一个根是 ， 的值是 。 例2、已知方程 求它的另一个根及 的一个根是2 的值。 原方程可化为： 想一想，还有其他方法吗？ 还可以把 代入方程的两边，求出 解： ，那么 设方程的另一根是 ∴ 又∵ 我能行2 例3、不解方程，求一元二次方程 两个根的①平方和；②倒数和。 设方程的两根是 ，那么 ① ② 解： 我能行3 所求的方程是： 解： 我能行4 例4、求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是： ， 即： 或： （1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？ ；② ③ ；④ ① 求它的另一个根及 （2）已知方程 的值。 的一个根是1， 是方程 不解方程，求下列各式的值: （3）设 的两个根, ① ② 开启智慧 知识在于积累 知识在于积累 （4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为： ；② ① （5）已知两个数的和等于 ，积等于 求这两个数 开启智慧 根与系数关系小结 1、已知方程的一个根求另一个根及未知数 （也可以用根的定义求解） 对于一元二次方程 的两根 2、求关于两根的代数式的值 如:两根的平方和、两根的倒数和等 3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0， 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= ∴ 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。 探究 2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0 探究 $