21.2.1 第1课时 直接开平方法（精品课件）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】人教版（安徽）

21.2　解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时 直接开平方法 1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 知识回顾 用式子表示： 若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= 如：9的平方根是______ ±3 的平方根是______ 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。 即x= 或x= 3.完全平方公式 （1）乘法公式： （a+b）2 = a2 + 2ab + b2 . (a - b）2 = a2 - 2ab + b2 . （2）因式分解： a2 + 2ab + b2 = （a+b）2 . a2 - 2ab + b2 = (a - b）2 . 　　你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元一次方程组 一元一次方程 一元二次方程 消元 降次 　　思考：如何解一元二次方程． 1．创设情境，导入新知 问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 10×6x2=1 500 由此可得 x2=25 即 x1=5，x2=－5 可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm． 设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 ① 　　问题2　解方程 x 2 = 25，依据是什么？ 　　解得　x 1 = 5，x 2 = - 5． 平方根的意义 　　请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？ 　　结构特征：方程可化成　x 2 = p　的形式， 平方根的意义 降次 　　（当 p≥0 时） 2．推导求根公式 归纳 一般地，对于方程 x 2 = p （1）当p>0时，方程有两个不等的实数根 x 1 = ，x 2 = ； （2）当p = 0时，方程有两个相等的实数根 x1 =x2 =0； （3）当p<0时，方程无实数根. 像解x2=4，x2-2=0这样， 什么叫直接开平方法？ 概括总结 形如 x2=a( )， 利用平方根的定义 . 直接开平方求一元二次方程的解的方法 叫直接开平方法 例1、解下列方程 （1）3x2-27=0 （2）4x2-1= -1 (3)2x2+3= 1 解：（1）移项，得3x2=27 ∴x=±3 即 x1=3，x2= -3 （2）移项，得4x2=0 系数化为1，得 x2=0 例题练习 系数化为1，得x2=9 即 x1=x2= 0 （3）移项，合并同类项，得 2x2 = - 2 . 因为实数的平方不会是负数，所以原方程无实数根. 例2、解下列方程： ⑴（x＋3）2= 5 （2） 分析：只要将（x＋3）看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解； 解：开平方，得 例题练习 x+3= ∴x+3= 或x+3=- （3） 即x1=-3+ ，x2=-3- 上面的解法中，由方程（2）得到（3），实质上是把一个一元 二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程（2） 转化为我们会解的方程了。 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ∴ x1=3，x2=-1 解：移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2 即x-1=+2 或x-1=-2 例题练习 ⑶ 12（3－2x)2－3 = 0 例题 解：移项，得 12（3－2x)2 = 3. （3－2x)2 = 解下列方程： 方程的两根为 练 习（课本第6页） 解： 方程的两根为 解：移项 x＋6=3 x＋6=－3, 方程的两根为 x1 =－3, x1 =－9. 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 解：9x2 = - 4 因为实数的平方不会是负数， 所以方程无实数根. 小结 1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义