21.4：二次函数的应用-2021-2022学年九年级数学上册课时同步练（沪科版）

学科网（北京）股份有限公司 21.4：二次函数的应用 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 (单位： )与小球运动时间 (单位： )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度 时， ．其中正确的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 【解析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【解答】①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为： ， 把 代入得 ，解得 ， ∴函数解析式为 ， 把 代入解析式得， ， 解得： 或 ， ∴小球的高度 时， 或 ，故④错误； 故选D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 2．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，则水面下降 时，水面宽度增加（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】如图所示： 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0）， 到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出： -1=-0.5x2+2， 解得：x=± ，所以水面宽度增加到2 米，比原先的宽度当然是增加了2 -4． 故选C． 【点评】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 3．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+ ，则下列结论： (1)柱子OA的高度为 m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【解答】解：当x=0时，y= ，故柱子OA的高度为 m；(1)正确； ∵y=﹣x2+2x+ =﹣（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误； 解方程﹣x2+2x+ =0， 得x1=﹣ ，x2= ， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确． 故选C． 【点评】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为 ，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∴第一次降价后的价格是a×(1−x)， 第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2 ∴y=a(1−x)2. 故选D. 5．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，则∠A＝∠D＝30°，则∠MAP＝∠A＝30°，则PM＝ ＝ ，PN＝ ＝1﹣x，即可求解． 【解答】解：连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线， ∵∠A＝∠D＝30°，则∠MAP＝∠A＝30°， 则PM＝ ＝ ， 同理PN＝ ＝1﹣x， y＝MN2＝（PM）2+（PN）2＝ x2﹣2x+1