1.3 集合的基本运算（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.3 集合的基本运算 （基础知识+基本题型） 知识点一 并集 1．并集的概念 自然 语言 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集,记作（读作“并”） 符号 语言 图像 语言 辨析 （1）仍是一个集合，有所有属于或属于的元素组成，例如，已知 ，则 （2）“或”字的意义：用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“或”这一条件，包括下列三种情况：① ，且；② ，且；③，且，用Venn图分别表示如图1.1.7所示， （3）对于，不能认为是由的所有元素和的所有元素所组成的集合，因为与可能有公共元素，公共元素在并集中只能出现一次. 2．并集的性质 性质 含义 两个集合的并集满足交换律 任何集合与其本身的并集等于集合本身 任何集合与空集的并集等于集合本身 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 若，则， 反之也成立 任何集合与它的子集的并集等于集合的本身 知识点二 交集 1．交集的概念 自然 语言 一般地，由所有属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为集合与的交集,记作（读作“交”） 符号 语言 图像 语言 拓展 （1）仍是一个集合，由所有属于集合且属于集合的元素组成，例如，已知，则. （2）对于“”，不能仅认为中的任一元素，同时还有与的公共元素，同时还有与的公共元素都属于的含义，这就是文字语言中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素. (3)并不是任何两个集合都有公共元素，当集合与没有公共元素时，不能说与没有交集，而是. 2．交集的性质 性质 含义 两个集合的交集满足交换律 任何一个集合与其自身的交集等于集合本身 任何集合同空集的交集都是空集 若，则 一个集合同它的子集的交集等于其子集 若，则 若两个集合的交集等于其中某一个集合，则该集合是另一个集合的子集 两个集合的交集是其中任一个集合的子集 交集运算满足结合律 知识点三 全集与补集 1.全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. 补集 文字语言 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作 符号语言 图形语言 性质 （1）；（2），；（3） （4） 辨析 （1）全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应得全集而言.例如，若我们在整数范围内研究问题，则为全集，而当问题扩展到实数集时，则 （2）同一个集合在不同的全集中补集不同，不同的集合在同一个全集中的补集也不同，即补集的概念具有某种相对性. （3）符号包含三层意思： ①； ②表示一个集合，且； ③是中不属于的所有元素组成的集合. 拓展 并集、交集、补集的关系（德摩根定律）： ； 考点一 集合的并集运算 例1集合,，若，求实数的取值范围. 解：由题意，知 因为，所以 (1)若则1是方程的根，所以.当时，，符合题意. (2)若，则2是方程的根，所以 当时，, 此时与A不相等，所以不符合题意. (3)若，则，解得，此时 综上所述，的取值范围为 考点二 集合的交集运算 例2设集合，. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 分析：集合与中的元素都是点，则的元素就是两直线与的公共点. 解：(1)因为，所以，所以，即 解得或. 当时，两直线与的交点为，满足； 当时，两直线与重合，不合题意，舍去. 所以，. (2)假设存在实数，使得，则两直线与无交点，即方程组无解. 消去，得，即， 所以当时，方程组无解， 所以存在实数，使得. 考点三 集合的补集运算 例3 已知全集，，，求实数的值. 分析：集合中的元素，且，从而，求解即可. 解：因为，所以，且. 所以，解得或. 当时，，此时，，满足； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知，. 考点四 并集、交集、补集的综合运算 例4已知全集，，，，求，，. 解：如图 ，因为，，所以，. 总结： (1)在数轴上可以直观地表示由数集，所以进行集合的并、交、补综合运算时，经常借助数轴求解. (2)要注意不等式中的等号在补集中能否取到，要注意补集是全集的子集. 考点五 集合运算及Venn图在实际生活中的考 例5某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数. 解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为. 由题意