专题19三角恒等变换公式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

学科网（北京）股份有限公司 专题19三角恒等变换公式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。 会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 能运用上述公式进行简单的恒等变换。　　 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档. 三、自主梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 2.二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 四、高频考点+重点题型 考点一、两角和差的正弦余弦正切公式 例1-1（公式逆用） 设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D　 【解析】由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈[0，]为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b。 例1-2（公式正用） （2021·安徽高三其他模拟（文））已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由已知求出，再利用差的正切公式可求. 【详解】 因为，为锐角，所以.所以，， 又， 则. 故选：C. 对点训练1.(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D　 【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2. 对点训练2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B. 对点训练3.（2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________. 【答案】 【解析】 根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】 由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，， 所以. 故答案为：. 例1-3（角的变换） （2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由正切的二倍角公式求得，再由可求. 【详解】 因为， 所以 . 故选：A. 对点训练1.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____． 【答案】 【解析】