【导学案】《第一章 集合与常用逻辑用语》本章小结-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

本章小结 知识框架 重点梳理 重点1：集合的基本概念 【例】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．9 (2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则x＝________． 【解析】　(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1； ③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C. (2)由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3. ①当x－2＝－3时，x＝－1. 把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性； ②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)， 当x＝－时，集合的三个元素为－，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 变式训练 已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 解析：选B.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意． 重点2：集合的基本关系 【例】已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 【解析】　因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅. 画数轴如图所示． 由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1. 即a＜－2或a≥. 由已知a＜1，所以a＜－2或≤a＜1， 即所求a的取值范围是a＜－2或≤a＜1. 【答案】　a＜－2或≤a＜1 变式训练 1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则下列关系正确的是(　　) A．M＝N B．MN C．N⊆M D．NM 解析：选B.由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，N＝{0，1，2}，可知MN. 2．已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有(　　) A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 解析：选B.|a|≥2⇒a≥2或a≤－2. 又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±(舍)， 即A中只有一个元素2， 故A的子集只有2个，选B. 3．已知集合A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|x＜a}，当A⊆B时，实数a的取值范围为a＞c，则c＝________． 解析：A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|x＜a}，由A⊆B，得a＞4. 所以c＝4. 答案：4 重点3：集合的基本运算 【例】已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴∴－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 变式训练 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. 解　把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来． 如图， ∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 重点4：充分条件、必要条件的判定及应用 【例1】已知集合A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“a>5”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4⇏a>5，所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件． 【例2】设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}． q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}． 且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解　∵q是p的充分不必要条件． ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. 所以a的范围为. 变式训练 1.“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不