第04讲 相似三角形的判定（1）-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第4讲 相似三角形的判定 知识梳理 1.相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． （3）设与的相似比为k，与的相似比为，当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形就成为全等三角形．全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例． 注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关． 2.相似三角形具有传递性（判定方法）： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 符号语言： ∵∽,∽，∴∽（相似三角形的传递性） 3.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 4.相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． 5.相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如上图，在与中，，，那么． 常见模型： 题型探究 题型一、相似三角形的判定与证明 【例1】（1）根据下列条件判定与是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来． （1），，； （2），，，． 【答案】（1）相似，；（2）相似，． 【解析】（1）因为三角形内角和， 可得，又因为， 在和中， ,所以； （2）因为三角形内角和， 可得，又， 在和中， ,所以； （2）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中有哪几对相似三角形？ A B C D E F 【答案】3对，，，． 【解析】∵□ABCD∴， ∴， ∴ 在和中， ,∴（两角对应相等，两个三角形相似）； 在和中， ,∴（两角对应相等，两个三角形相似）； ∴△AFE∽△CFD∽△BCE 故答案为：3． （3）如图，四边形的对角线与相交于点，，，，． 求证：与是相似三角形． 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：，，，， ， ． 在与中， ,∴（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）. （4）如图，点是的边上的一点，且．求证：． A B C D 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：， ， 在与中， ,∴（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）. 举一反三 1.如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？ A B C D E 1 2 3 【答案】，， ，． 【解析】因为，同时有公共角必相等，根据相似三角形判定定理1，可得， ，；同时由， 可得：，进而，又，根据相似三角形判定定理1， 可得：． 2．根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来． （1），，， ，，； （2），，， ，，； （3），，， ，，． 【答案】（1）相似，；（2）相似，；（3）不相似 【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均 符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似． 3.（2020年九年级上课时练习）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP． 【答案】证明过程见解析 【解析】证明： 在△ADP和△BCP中， ∴△ADP∽△BCP(两角对应相等，两个三角形相似）． 4.如图，，点、分别对应点、． 求证：． A B C B’ C’ 【答案证明过程见解析． 【解析】证明：， ， ， ． 题型二、选择或补充条件使三角形相似 【例2】（1）（2020·上海九年级月考）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE． 【答案】∠D=∠B或∠AED=∠C． 【解析】解：∵∠DAB=∠CAE ∴∠DAE=∠BAC ∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似． 故答案为∠D=∠B（答案不唯一）． （2）（2021·北京九年级一模）如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似