1.3 正方形的性质与判定（第1～2课时）-2021-2022学年九年级上册初三数学【新课程同步训练】北师大版

数学 九年级上册 （北师大版） 2 矩形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 6 5 3. B 4. D 5. B 6. （ 1 ） 四边形 AEDF 是矩形 . 理由： ∵DF∥AC ， DE∥AB ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∵∠BAC=90° ， ∴ 四 边形 AEDF 是矩形 . （ 2 ） AD=EF. 理由： ∵ 四边形 AEDF 是矩形， ∴AD=EF. 7. AB= 1 2 BC 时， 四边形 PEMF 是矩形 . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC ， AB=DC ， ∠A=∠D=90°. ∵M 为 AD 边的中点， AB= 1 2 BC ， ∴AB=DC=AM=MD. ∴∠ABM=∠AMB=∠MCD=∠CMD=45°. ∴∠BMC=90°. 又 ∵PE⊥MC ， PF⊥MB ， ∴∠PFM=∠PEM=90° ， ∴ 四边形 PEMF 是矩形 . 8. 连接 CE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90° ， AO=CO= 1 2 AC ， AD=BC ， AB=CD. 又 ∵OE⊥AC ， ∴AE= CE. 在 Rt△ABC 中， AB= 2 姨 ， BC=2 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = （ 2 姨 ） 2 +2 2 姨 = 6 姨 . 在 Rt△CDE 中， CE 2 =CD 2 +DE 2 ， 设 AE=CE=x ， 则 x 2 = （ 2 姨 ） 2 + （ 2-x ） 2 ， 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . 在 Rt△AOE 中， AE 2 =AO 2 +OE 2 ， ∴OE= AE 2 -AO 2 姨 = 3 2 2 ' 2 - 6 姨 2 2 2 2 姨 = 3 姨 2 . ∴AE 和 OE 的长分别为 3 2 和 3 姨 2 . 9. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB=AD. ∴∠AOD＝90° ， ∠DAO＝∠BAO. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝ 1 2 AD=AE. ∴∠EAO＝∠AOE. ∴∠AOE＝∠BAO. ∴OE∥FG. ∵OG∥EF ， ∴ 四边形 OEFG 是平行四边形 . ∵EF⊥AB ， ∴ ∠EFG＝90°. ∴ 四边形 OEFG 是矩形 . （ 2 ） ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB＝AD＝10. ∴∠AOD＝90°. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝AE＝ 1 2 AD＝5. 由 （ 1 ） 知， 四边形 OEFG 是矩形， ∴FG＝OE＝5. ∵AE＝5 ， EF＝4 ， ∴AF＝ AE 2 -EF 2 姨 ＝3. ∴BG＝AB-AF-FG＝10-3-5＝2． 3 正方形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 2 姨 a 2 姨 2 a 2. 8 cm 2 3. 34 姨 2 4. A 5. B 6. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠ABC=∠C=90°. ∵BE=CF ， ∴△ABE≌△BCF. ∴AE=BF. ∴∠BAE= ∠CBF. ∵∠BAE+∠BEA=90° ， ∴∠CBF+∠BEA=90°. ∴∠BGE=90°. ∴AE⊥BF. 7. （ 1 ） 答案不唯一， 选 ① 或选 ② 或选 ③. （ 2 ） 选 ① 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90°. 又 ∵AE=CF ， ∴△ABE≌△CFD. ∴BE=DF. 选 ② 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD∥ BC. 又 ∵BE∥DF ， ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . ∴BE=DF. 选 ③ 的证明过程如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90°. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴△AEB≌△CFD. ∴BE=DF. 8. 延长 EB 到点 G ， 使 BG=DF ， 连接 AG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB ， ∠D=∠ABE=90°. ∴△ADF≌ △ABG. ∴∠BAG=∠DAF ， AF=AG ， ∴∠GAF=90°. ∵△ECF 的周长等于正方形的一半， ∴EF=BE+DF=BE+BG ， ∴EF= EG. 又 ∵AE=AE ， ∴△AEF≌△AEG. ∴∠EAG=∠EAF= 1 2 ∠GAF= 1 2 ×90°=45°. * 9. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴ AC⊥BD ， OD=OA ， ∴∠DOF=∠AOE=90° . ∵DM⊥AE ， ∴∠FAE+∠MFA=90°. 又 ∵∠MFA=∠DFO ， ∠DFO+∠MDO=90° ， ∴∠MDO= ∠FAE. ∴△FOD≌△