1.2 矩形的性质与判定（第1～3课时）-2021-2022学年九年级上册初三数学【新课程同步训练】北师大版

数学 九年级上册 （北师大版） OD ， CB=CD ， OC=OC ， ∴△OBC≌△ODC. ∴∠BOC=∠DOC ， ∠BCO=∠DCO. ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC ， ∠BCD= ∠BCO+∠DCO ， ∴∠BOC= 1 2 ∠BOD ， ∠BCO= 1 2 ∠BCD. 又 ∠BOD=∠BCD ， ∴∠BOC=∠BCO. ∴BO=BC. 又 OB= OD ， BC=CD ， ∴OB=BC=CD=DO. ∴ 四边形 OBCD 是菱形 ． * 11. （ 1 ） 设 AE=x ， ∵EF 是 AD 的垂直平分线， ∴AE=ED=x. 又 ∵BC=AC=2 ， ∴EC=2-x. 在 Rt△CED 中， 由勾股 定理得， DE 2 -CE 2 =CD 2 ， 即 x 2 - （ 2-x ） 2 = （ 2 姨 ） 2 ， 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . （ 2 ） ∵CD=2 （ 2 姨 -1 ）， 同 （ 1 ） 方法可 得方程 x 2 - （ 2-x ） 2 = ［ 2 （ 2 姨 -1 ）］ 2 ， 解得 x=4-2 2 姨 ， 即 AE=4-2 2 姨 . ∴EC=2 2 姨 -2. ∴EC=CD=2 2 姨 -2. ∵ ∠C=90° ， ∴∠CDE=∠B=45° . ∴DE∥AF. 又 ∵EF 是 AD 的垂直平分线 ， ∴AE=ED ， AF=DF ， EF=EF. ∴△AEF≌ △DEF ， ∴∠EDF=∠EAF=45° ， ∴∠FDB=180°-∠CDE-∠EDF=90°. ∴AE∥DF. ∴ 四边形 AEDF 是菱形 . 12. D 13. ∵AE∥BF ， ∴∠ADB=∠DBC. ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠DBC=∠ABD. ∴∠ADB=∠ABD. ∴AB=AD. 又 ∵AB=BC ， ∴AD=BC. ∵AE∥BF ， 即 AD∥BC ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . 又 ∵AB=AD ， ∴ 四边形 ABCD 为菱形 ． 14. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴EB=ED ， AB∥CD. ∴∠EBP=∠EDQ. ∵ ∠BEP＝∠DEQ ， ∴△PBE≌△QDE （ ASA ） . （ 2 ） ∵△PBE≌△QDE ， ∴EP=EQ. ∵ 四边 形 ABCD 是平行四边形 ， ∴EB=ED ， BC∥AD.∴∠EBM=∠EDN. ∵∠BEM＝∠DEN ， ∴ △BME≌△DNE （ ASA ） . ∴EM=EN. ∴ 四边形 PMQN 是平行四边形 . ∵PQ⊥MN ， ∴ 四 边形 PMQN 是菱形 ． 1 菱形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 54 cm 3. 3 3 姨 4. D 5. B 6. A 7． （ 1 ） ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD. ∵BA=BC ， BD=BD ， ∴△ABD≌△CBD. ∴AD=CD. ∵AD∥BC ， ∴ ∠ADB=∠CBD. ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. ∴AB=AD=BC=CD. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） ∵DE⊥BD ， ∴ ∠BDE=90° . 由 （ 1 ） 知 CB=CD ， ∴∠CBD=∠CDB. ∴∠CBD+∠E=∠CDB+∠CDE=90° . ∴∠CDE=∠E. ∴CD=CE. ∴BC=CE. ∴BE=2BC=10 . 在 Rt△BDE 中， DE= BE 2 -BD 2 姨 = 10 2 -8 2 姨 =6. ∴ 四边形 ABED 的周长为 AB+BE+DE+AD= 5+10+6+5=26. 8. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴∠AEB= ∠AFD=90°. ∵BE=DF ， ∴△AEB≌△AFD. ∴AB=AD.∴ 四边形 ABCD 是菱形 ． （ 2 ） 连接 BD 交 AC 于点 O． ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=6 ， ∴AC⊥BD. AO=OC= 1 2 AC= 1 2 ×6=3. ∵AB=5 ， AO= 3 ， ∴BO= AB 2 -AO 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∴BD=2BO=8. ∴S 荀ABCD = 1 2 AC×BD=24． 9. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠2=∠ACB. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴∠1=∠ACB. ∴AB=BC. ∴ 四 边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） ∵AD∥BC ， ∴∠AFE=∠EBC. 又 ∵AF=AE ， ∴∠AFE=∠AEF=∠BEC. ∴∠EBC=∠BEC. ∴BC=CE. ∵AC=2OA=AE+CE ， ∴2OA=A