第二章 一元二次方程 自我检测-2021-2022学年九年级上册初三数学【新课程同步训练】北师大版

参考答案与提示 17. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO. 又 ∵△ACE 是等边三角形， ∴EO⊥AC ， 即 DB⊥AC. ∴ 四边 形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） ∵△ACE 是等边三角形， ∴∠AEC=60°. ∵AO=CO ， ∴∠AED= 1 2 ∠AEC=30°. ∵∠AED= 2∠EAD ， ∴∠EAD=15°. ∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°. 由 （ 1 ） 知， 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ADC=2∠ADO=90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形 . 18. 四边形 PQMN 为菱形 . 证明： 如图， 连接 AC ， BD. ∵P ， Q 分别为 AB ， BC 的 中点 ， ∴PQ 为 △ABC 的中位线 . ∴PQ∥AC ， PQ= 1 2 AC. 同理 MN∥AC ， MN= 1 2 AC. ∴MN∥PQ ， MN=PQ. ∴ 四边形 PQMN 为平行四边形 . 在 △AEC 和 △DEB 中， ∵AE=DE ， EC=EB ， ∠AED=∠CEB=60° ， ∴∠AED+∠CED=∠CEB+∠CED ， 即 ∠AEC=∠DEB. ∴ △AEC≌△DEB. ∴AC=BD. ∴PQ= 1 2 AC= 1 2 BD. ∵P ， N 分别为 AB ， AD 的中点， ∴PN= 1 2 BD. ∴PQ=PN. ∴ 四边形 PQMN 为菱形 . 19. （ 1 ） ∵△DEC 是由 Rt△ABC 绕 C 点旋转 60° 得到的， ∴∠CED=∠ABC=90° ， AC=DC ， ∠ACB=∠ACD=60°. ∴△ACD 是等边三角形 . ∴AD=DC=AC. 又 ∵∠ABF=∠ABC=90° ， BC=BF ， ∴AF=AC. ∴△AFC 是等边三角形 . ∴AF= FC=AC. ∴AD=CD=FC=AF. ∴ 四边形 AFCD 是菱形 . （ 2 ） 四边形 ABCG 是矩形 . 由 （ 1 ） 可知： △ACD 是等边三角 形， ∠CED=90° ， 即 DE⊥AC. ∴AE=EC. ∵ 四边形 AFCD 是菱形， ∴AD∥FC. ∴∠EAG=∠ECB ， ∠AGE=∠EBC. ∴ △AEG≌△CEB. ∴GE=BE. ∴ 四边形 ABCG 是平行四边形 . 又 ∵∠ABC=90° ， ∴ 四边形 ABCG 是矩形 . 20. （ 1 ） 四边形 BQDP 是平行四边形 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC ， AD∥BC. ∵ 点 P 从点 A 出 发， 以 1 cm/s 的速度沿 AD 向终点 D 运动， 同时， 点 Q 从点 C 出发， 以 1 cm/s 的速度沿 CB 向终点 B 运动， ∴AP=CQ=1×t=t. ∴AD-AP=BC-CQ ， 即 PD=BQ. ∴ 四边形 BQDP 是平行四边形 . （ 2 ） ∵BQ=6-t ， ∴S 四边形 BQDP =BQ · AB= （ 6-t ） ×4=24-4t. （ 3 ） 四边形 BQDP 可能为菱形 . 当 BP=PD 时， 荀BQDP 为菱形 . 在 Rt△ABP 中， ∵AP=t ， AB=4 ， ∴BP 2 =AP 2 +AB 2 =t 2 +4 2 =t 2 +16. 又 ∵PD=6-t ， ∴BP 2 =PD 2 ， 即 t 2 +16= （ 6-t ） 2 ， 解得 t= 5 3 . 21. （ 1 ） 猜想： PA=PE. （ 2 ） 成立 . 证明： 过 P 点作 PG⊥AD 于点 F ， 交 BE 于点 G ， ∴∠AFP=∠AFG=90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=90°. ∴ 四边形 ABGF 是矩形 . ∴BG=AF. ∵∠PBG=45° ， ∴∠BPG=45°. ∴PG=BG=AF. ∵∠APE=90° ， ∴∠APF+∠EPG=90°. 又 ∵∠APF+∠PAF=90° ， ∴∠EPG=∠PAF. 又 ∵∠PFA=∠PGE= 90° ， ∴△APF≌△PEG. ∴PA=PE. （ 3 ） 成立 . 证明： 过 P 点作 PF⊥AD 于点 F ， 交 BE 于点 G ， ∴∠AFP=90°. ∵ 四 边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BAF=∠ABG=90°. ∴ 四边形 ABGF 为矩形 . ∴∠BGF=90° ， BG=AF. ∵ ∠DBC=45° ， ∴∠PBG=45°. ∴∠BPG=45°. ∴PG=BG=AF. ∵∠APE=90° ， ∴∠APF+∠EPG=90°. 又 ∵∠APF+∠PAF= 90° ， ∴∠EPG=∠PAF. 又 ∵∠PFA=∠PGE=90° ， ∴△APF≌△P