4.4 探索三角形相似的条件（第1～4课时）-2021-2022学年九年级上册初三数学【新课程同步训练】北师大版

数学 九年级上册 （北师大版） 4 探索三角形相似的条件 （第 1 课时） 1. 24 cm 2. 30° 3. 3 4. 2 ∶ 1 5. 4 6. C 7. A 8. A 9. 25 2 10. 相似 . 理由： ∵∠1=∠2 ， ∴∠BAC=∠DAE. ∵∠B=∠3 ， ∴△ABC∽△ADE. 11. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=90°. ∵∠BAE=∠ADB ， ∴△ABE∽△DAB. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 AB DA = BE AB ， ∴AB 2 =AD · BE. 12. （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， △EDF 是等腰直角三角形 ， ∴AD=CD ， DE=DF ， ∠ADC=∠EDF=90° ， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF. ∴∠ADE=∠CDF ， ∴△ADE≌△CDF （ SAS ） . （ 2 ） 方法 1 ： 如图， 延长 BA 到点 M ， 交 ED 于点 M ， ∵△ADE≌△CDF ， ∴∠EAD= ∠FCD. ∴∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF. ∵∠MAD=∠BCD=90° ， ∴∠EAM=∠BCF. ∵∠EAM= ∠BAG ， ∴∠BAG=∠BCF. 又 ∵∠AGB=∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． 方法 2 ： 由 （ 1 ） 知 ∠E= ∠DFC=45° ， 又 ∵∠EFD=45° ， ∴∠EFC=90°. ∵∠B=90° ， ∴∠B=∠EFC. ∵∠AGB=∠CGF ， ∴ △ABG∽△CFG． * 13. （ 1 ） ∵DB 平分 ∠ADC ， ∴∠ADB＝∠CDB. 又 ∵∠ABD＝∠BCD＝90° ， ∴△ABD∽△BCD. ∴ AD BD = BD CD . ∴BD 2 ＝ AD · CD. （ 2 ） ∵BM∥CD ， ∴∠MBD＝∠BDC. ∴∠ADB＝∠MBD ， 且 ∠ABD＝90°. ∴BM＝MD ， ∠MAB＝∠MBA. ∴BM＝ MD＝AM＝4. ∵BD 2 ＝AD · CD ， CD＝6 ， AD＝8 ， ∴BD 2 ＝48. ∴BC 2 ＝BD 2 -CD 2 ＝12. ∴MC 2 ＝MB 2 +BC 2 ＝28. ∴MC＝2 7 姨 . ∵∠MBD= ∠BDC ， ∠BNM=∠CND ， ∴△MNB∽△CND. ∴ BM CD = MN CN = 2 3 ， 即 MN MC-MN = 2 3 . 又 ∵MC＝2 7 姨 ， ∴MN＝ 4 5 7 姨 . 14. （ 8 ， 0 ） 15. 4-2 2 姨 16. B 17. B 18. （ 1 ） 理由如下 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴CD=CB ， ∠D=∠B ， CD∥AB. ∵DF=BE ， ∴△CDF≌CBE （ SAS ） . ∴∠DCF=∠BCE. ∵CD∥BH ， ∴∠H=∠DCF. ∴∠BCE=∠H. ∵∠B=∠B ， ∴△BEC∽△BCH. （ 2 ） ∵BE 2 = AB · AE ， ∴ BE AB = AE EB . ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AD∥BC ， 即 AG∥BC. ∴∠G=∠BCE ， ∠GAE=∠B. ∴△AGE∽ △BCE. ∴ AE BE = AG BC . ∴ BE AB = AG BC . ∵BC=AB ， ∴BE=AG. ∵DF=BE ， ∴AG=DF. 4 探索三角形相似的条件 （第 2 课时） 1. AE AD 2. 65° 或 115° 3. 0 ， 3 2 2 * 4. 25 4 5. D 6. A 7. （ 1 ） 相似 . （ 2 ） 相似 . 8. 四边形 DECF 为平行四边形 . 理由如下： ∵ AD DB = AE EC ， ∴ AD DB+AD = AE AE+EC ， 即 AD AB = AE AC . ∵∠BAC=∠BAC ， ∴△ABC∽△ADE ， ∴∠ADE=∠B ， ∴DE∥BC. 又 ∵ AD DB = DE BF ， ∴△ADE∽△DBF ， ∴∠BDF=∠A ， ∴DF∥AC ， ∴ 四 边形 DECF 是平行四边形 . 9. （ 1 ） ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB ， ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB ， ∠DEF=∠B ， ∴ ∠BDE=∠CEF. ∴△BDE∽△CEF. （ 2 ） ∵△BDE∽△CEF ， ∴ BE CF ＝ DE EF . ∵ 点 E 是 BC 的中点， ∴BE=CE ， ∴ CE CF ＝ DE EF . ∵∠DEF=∠B=∠C ， ∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE=∠CFE. ∴FE 平分 ∠DFC． * 10. 当 CM 为