3.2.1 双曲线及其标准方程-2021-2022学年高二数学同步速效提升练（人教A版2019选择性必修第一册）【学科网名师堂】

3.2.1双曲线及其标准方程 （测试时间：40分钟，分值：80分） 一、单项选择题（共5小题，每小题5分，共25分） 1．椭圆 的焦点是双曲线 的焦点，则 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】 分别分析椭圆的焦点和双曲线的焦点，进而求解. 【详解】 解：椭圆 中， ，所以 ， 在双曲线 中， ，所以 ， 所以 ，解得 . 故选：D 2．已知双曲线 的一个焦点为 ，并且双曲线C的渐近线恰为矩形 的边 所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题可得 ，再由 为矩形可得 ，结合 求出 即可得出方程. 【详解】 焦点为 ， ， EMBED Equation.DSMT4 为矩形， ，根据双曲的对称性， ， 又 ，则可解得 ， 则双曲线方程为 . 故选：A. 3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与该双曲线的右支交于 ， 两点，若 ，则 周长为（ ） A．16 B．24 C．36 D．40 【答案】C 【分析】 利用双曲线的定义可得 ，再求出 ，即可得到答案； 【详解】 因为双曲线为 ，所以 ； 由双曲线的定义得 ， 所以 ， 所以 周长为 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查双曲线的定义的运用，考查运算求解能力. 4．已知双曲线 上一点 到其左焦点 的距离为8，则 的中点 到坐标原点 的距离为（ ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】 由已知条件可判断点 在双曲线的左支上，设双曲线的右焦点为 ，则由双曲线的定义可得 ，再利用三角形中位线定理可求得答案 【详解】 解：由 ，得 ，则 ，所以 ， 所以 ， 设双曲线的右焦点为 ， 因为 到其左焦点 的距离为8 ， 所以点 在双曲线的左支上， 所以 ，所以 ， 因为 为 的中点， 为 的中点， 所以 ， 故选：A 5．已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上一点，满足 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由 可以求得M在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲线的方程联立求得M的坐标，进而得到所求面积. 【详解】 设双曲线的焦距为 ，则 . 因为 ，所以 为圆 与双曲线的交点. 联立 ，解得 ， 所以 的面积为 . 故选:A. 【点睛】 本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法. 二、多项选择题（共2小题，每小题5分，共10分） 6．在 中， ， 为 的中点，且 ，则下列说法中正确的是（ ） A．动点 的轨迹是双曲线 B．动点 的轨迹关于点 对称 C． 是钝角三角形 D． 面积的最大值为 【答案】BD 【分析】 由 联想到双曲线的定义，可以考虑以 两点作为焦点， 为原点作图，设 = ，此时 点在以 为圆心， 为半径的圆上，由 ，知 点在双曲线上，由图逐项判断即可． 【详解】 以 为原点， 为 轴建立直角坐标系． 设 = ，此时 点在以 为圆心， 为半径的动圆上． 由 ，知 点在以 为焦点， 的双曲线 上且 ． 对点 有 ， ，从而 ，当 时， 最大，故 ， ，故 正确； 时，得到另一个 点 ，此时 为直角三角形，故 错误； ∵ 非定值，∴ 不以双曲线为轨迹，故 错误； ∵ ，∴一定有 关于 的对称点关于原点对称，故 正确． 故选：BD． 【点睛】 本题考查双曲线的定义以及画图作图，关键点在得到 点在以 为焦点， 的双曲线 上且 ． 7．在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ） A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线 【答案】BCD 【分析】 两圆圆心距C1C2＝4，当r1+r2＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切；当r1+r2＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论． 【详解】 解：根据题意圆 ，半径r1，圆 ，半径r2，所以 ，设圆P的半径为r， （1）当 ，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切， ①均内切时 ， ，此时 ， 当 时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线， 当 时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上． ②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时 ． 此时P点的轨迹是与①相同． ③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切， |PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r