第二章 7 直线与平面垂直的判定-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学必修2同步资源（人教A版）

高中数学 必修2 点、直线、平面之间的位置关系 测试内容：直线与平面垂直的判定 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点梳理 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 3.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 初试身手 1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________． 题型一：直线与平面垂直的判定 【例1】　如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 练1.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N. 求证：AN⊥平面PBM. 题型二：直线与平面所成的角 【例2】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 练2.若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值． 课堂小测 1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交　　　C．异面　　　D．垂直 2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　) A．60° B．45° C．30° D．120° 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. $ 高中数学 必修2 点、直线、平面之间的位置关系 测试内容：直线与平面垂直的判定 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点梳理 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 3.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？ [提示]　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，