第一章 6 球的体积和表面积-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学必修2同步资源（人教A版）

高中数学 必修2 空间几何体的结构 测试内容：球的体积和表面积 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3． 2．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 初试身手 1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．2πC2 2．表面积为4π的球的半径是________． 3. 若一个球的体积为36π，则它的表面积为________． 4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________． 题型一：球的表面积与体积 【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为π，求它的表面积． 练1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为________． 题型二：球的截面问题 【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π B．4π　　　C．4π　　　D．6π (2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________． 练2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. 若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________． 题型三：与球有关的切、接问题 [探究问题] 1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？ 2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？ 3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？ 【例3】　(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________. (2)正方体的全面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________． 练3．将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　) A．12π　　　B． 18π　　　C．36π　　　D． 6π 练4．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________． 课堂小练 1．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　) A．2倍 B．4倍　　　　C．8倍　　　　D．16倍 2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 3．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为________． 4．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为，求它的表面积． $ 高中数学 必修2 空间几何体的结构 测试内容：球的体积和表面积 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3． 2．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ [提示]　球没有底面，球的表面不能展开成平面图形． 初试身手 1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．2πC2 C　[由2πR＝C，得R＝，所以S球面＝4πR2＝.] 2．表面积为4π的球的半径是________． 1　[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1.] 3. 若一个球的体积为36π，则它的表面积为________． 36π　[由πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝36π.] 4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________． 　[设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，R3＝2，∴R＝.] 题型一：球的表面积与体积 【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为π，求它的表面积． [解]　(1)设球的半径为r，则由已知得 4πr2＝64π，r＝4. 所以球的体积：V＝×π×r3＝π. (2)设球的半径为R，由已知得 πR3＝π，所以R＝5， 所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π. 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论： (1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方