1.2 集合间的基本关系（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 （基础知识+基本题型） 知识点一 子集 1.子集 定义 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或),读作“含于”(或“包含”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即; (2)对于集合,,,若,且,则. 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. 提示：(1)注意符号“”与“”的区别. “”只用于集合与集合之间，如,而不能写成；“”只能用于元素与元素之间，如,而不能写成. (2)“是的子集”：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，即由任意能推出. (3)当不是的子集时，我们记作“”(或“”)，读作“不含于”(或“不包含”),此时中至少存在一个元素不是中的元素，用图形语言表示如图1.1-2所示. 例如，集合不是集合的子集，因为集合中的元素不是集合中的元素. 知识点二 集合相等 如果集合是集合的子集,且集合是集合的子集,此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. 拓展： (1)若,且,则;反之，若,则,且，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证,只需要证与均成立即可. (2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关. (3) 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断. 知识点三 真子集 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集，记作(或) 图示 结论 (1)若,且,则; (2)若,且,则. 提示 (1)在证明，时，应先证明，再证明中至少存在一个元素，使得即可. (2) 对任意都有，但存在，且. (3)注意符号“”与“”的区别. 或，例如，若集合，,则是的子集，也是真子集，用与均可，但用更准确. 知识点四 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集. 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。可以得到： 空集只有一个子集，即它本身； 空集是任何非空集合的真子集.因此，若,则一定有，反之也成立. 提示： 由不能推出就是由中的部分元素组成的，这是因为若，则中不含任何元素；若，则含有中的所有元素，也可以说集合是集合的子集. 0，,,的关系： 与 与 与 相同点 都表示无意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合, 0是实数 中不含任何元素; 是含一个元素0 不含任何元素; 是含一个元素,该元素 关系 或 拓展 写出一个集合的所有子集的常用方法： 首先要注意两个特殊子集：和它本身； 其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集……写出所有的子集； 由个元素组成的集合的子集有个，真子集有个. 考点一 有限集合的子集的确定 例1 已知集合满足，求所有满足条件的集合. 解：①当中含有2个元素时，为； ②当中含有3个元素时，为，，； ③当中含有4个元素时，为，，； ④当中含有5个元素时，为. 故满足条件的集合为，，，，，，，. 过程释疑 考点二 集合关系的判断 例2 若集合，，则集合之间的关系为 ( ) 解析：设任意，则,当时， 所以；当时， ，所以. 所以 又设任意，则 因为，， 且表示所有的偶数，表示所有的奇数. 所以与都表示所有的奇数. 所以.所以 故. 考点三 由集合间的关系求参数范围 例3设集合，，且，求实数的取值范围. 分析：要对进行分类讨论，分和两种情况. 解：因为，所以分和两种情况. 当时，解得. 当时，有解得. 综上所述，实数的取值范围 此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数.要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“=”用实心圆点表示，不含“=”用空心圆点表示. 此类问题还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，往往会想当然地认为是非空集合而丢解. 例4设集合，，且，求实数的取值范围. 解：因为，且 所以集合可分三种情况. 若,此时，所以. 若,且，则或，此时,所以 代入方程解得，符合题意， 所以. 若,此时,即1,2是关于的方程的两个根. 由根与系数的关系,得,