1.2 集合间的基本关系（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系

（基础知识+基本题型）

知识点一  子集

1.子集

定义	一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或),读作“含于”(或“包含”)
图示	或
结论	(1)任何一个集合是它本身的子集，即; (2)对于集合,,,若,且,则.

2.Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线.

提示：(1)注意符号“”与“”的区别. “”只用于集合与集合之间，如,而不能写成；“”只能用于元素与元素之间，如,而不能写成.

(2)“是的子集”：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，即由任意能推出.

 (3)当不是的子集时，我们记作“”(或“”)，读作“不含于”(或“不包含”),此时中至少存在一个元素不是中的元素，用图形语言表示如图1.1-2所示.

 

 

 

 

 

例如，集合不是集合的子集，因为集合中的元素不是集合中的元素.

 

 

知识点二  集合相等

如果集合是集合的子集,且集合是集合的子集,此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.

拓展：

(1)若,且,则;反之，若,则,且，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证,只需要证与均成立即可.

(2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关.

(3) 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断.

知识点三   真子集

定义	如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集，记作(或)
图示
结论	(1)若,且,则; (2)若,且,则.

提示

(1)在证明，时，应先证明，再证明中至少存在一个元素，使得即可.

(2) 对任意都有，但存在，且.

(3)注意符号“”与“”的区别. 或，例如，若集合，,则是的子集，也是真子集，用与均可，但用更准确.

知识点四  空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。可以得到：

空集只有一个子集，即它本身；

空集是任何非空集合的真子集.因此，若,则一定有，反之也成立.

提示：

由不能推出就是由中的部分元素组成的，这是因为若，则中不含任何元素；若，则含有中的所有元素，也可以说集合是集合的子集.

0，,,的关系：

	与	与	与
相同点	都表示无意思	都是集合	都是集合
不同点	是集合, 0是实数	中不含任何元素; 是含一个元素0	不含任何元素; 是含一个元素,该元素
关系			或

拓展