【课时作业】1.5 全称量词与存在量词-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 [A　基础达标] 1．下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C. 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案　B 解析　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B. 3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　) A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆 C．所有四边形的四个顶点共圆 D．所有四边形的四个顶点都不共圆 解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A. 4．给出下列三个命题： ①对任意的x∈R，x2>0； ②存在x∈R，使得x2≤x成立； ③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B. 其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3答案　C 解析　对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题． 5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为___________________________________________________________． 解析：存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．　 答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2＞0 7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________． 答案　∀x∈R，x2－x＋1≠0. 解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0. 8．下列命题中正确的是________(填序号)． ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是素数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． 解析：①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是素数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π. 综上可得，①②③都正确． 答案：①②③ 9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解　(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假． (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题． 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)正方形都是菱形； (2)∃x∈R，使4x－3>x； (3)∀x∈R，有x＋1＝2x； (4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集． 解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． (2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题． (3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题． (4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题． [B　能力提升] 11．(多选)下列命题正确的是(　　) A．存在x<0，使x2－2x－3＝0 B．对于一切实数x<0，都有|x|>x C．∀x∈R，有＝x D．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm 解析：选AB.因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3， 所以存在x0＝－1<0，使x－2x0－3＝0，故A为真命题； B显然为真命题； 因为＝|x|，故C为假命题； 当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故D为假命题． 12．已知