【导学案】1.5 全称量词与存在量词-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 学习目标 教材考点 学习目标 核心素养 全称量词命题与存在量词命题的定义 理解全称量词、全称量词命题的定义， 理解存在量词、存在量词命题的定义 数学抽象 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法 逻辑推理 全称量词命题与存在量词命题的否定 理解全称量词命题与存在量词命题的关系， 掌握对全称量词命题或存在量词命题进行否定的方法 数学抽象 知识梳理 1．全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题 含有存在量词的命题叫做存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 p ﹁p 结论 全称量词命题 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，﹁p(x) 全称量词命题的否 定是存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 存在量词命题的否 定是全称量词命题 名师导学 知识点1 全称量词命题与存在量词命题 【例】(1)下列语句不是存在量词命题的是　(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 答案　C 解析　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． (2)给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　B 解析　因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2. 反思感悟　 全称量词命题或存在量词命题的判断 变式训练 1．(多选)给出下列命题： ①存在实数x＞1，使x2＞1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中是存在量词命题的有(　　) A．①　　　　　　　　　　 B．② C．③ D．④ 解析：选ACD.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题． 2．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10. (4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数． 知识点2 全称量词命题与存在量词命题真假的判断 【例1】判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 【例2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以 解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以 解得2≤m≤4. 反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 变式训练 1.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，