微专题08 函数的对称性和周期性-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题8：函数的对称性和周期性 1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 一、函数的自身对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称 （1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数） （2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便 （3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 3.中心对称 （1）关于轴对称（当时，恰好就是奇函数） （2）关于成中心对称 （3）关于成中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便 （3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 二、两个函数间的对称性 如y=f(x)与y=f(2m-x)关于直线x=m对称;y=f(x)与y=2n-f(2m-x)关于点(m,n)对称等．同时,互为反函数的两个函数关于直线y=x对称．如y=logax(a>0,a≠1)与y=ax(a>0,a≠1)关于直线y=x对称;函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称;y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称等． 三、函数的周期性 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期： 是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数就没有最小正周期. 5、函数周期性的判定： （1）：可得为周期函数，其周期 分析：用替代可得： （2）的周期 分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： 所以有：，即周期 注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 （3）的周期 分析： （4）的周期