1.3.2 正方形的判定（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

第2课时　正方形的判定 知识点1　用定义判定正方形 1.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( B ) A.AB＝BD且AC⊥BD B.∠A＝∠B且AB＝AD C.∠A＝∠B且AC＝BD D.AC和BD互相垂直平分 2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相等且互相平分,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,可添加的条件是　AB＝BC(答案不唯一)　.(写出一个条件即可)  3.如图,已知D是△ABC的边AB的中点,四边形BCED是平行四边形. (1)求证:四边形ADCE是平行四边形; (2)若AC＝BC,AC⊥BC,求证:四边形ADCE是正方形. 证明:(1)∵四边形BCED是平行四边形, ∴BD∥CE,BD＝CE. ∵D是AB的中点,∴AD＝BD,∴AD＝CE. 又∵AD∥CE,∴四边形ADCE是平行四边形. (2)∵AC⊥BC,∴∠ACB＝90°. ∵在Rt△ABC中,D是AB的中点, ∴CD＝AD＝AB. ∵在△ABC中,AC＝BC,D是AB的中点, ∴CD⊥AB,∴∠ADC＝90°, ∴平行四边形ADCE是正方形. 知识点2　已知菱形再判定正方形 4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形,则这个条件可以是　AC＝BD(答案不唯一)　.(写出一个即可)  5.[教材P25习题第3题改编]如图,已知E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF＝BP＝CQ＝DE. 求证:(1)EF＝FP＝PQ＝QE; (2)四边形EFPQ是正方形. 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,AB＝BC＝CD＝AD. ∵AF＝BP＝CQ＝DE,∴DF＝AP＝BQ＝CE, ∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS), ∴EF＝FP＝PQ＝QE. (2)∵EF＝FP＝PQ＝QE, ∴四边形EFPQ是菱形. ∵△APF≌△BQP,∴∠AFP＝∠BPQ. ∵∠AFP＋∠APF＝90°, ∴∠APF＋∠BPQ＝90°, ∴∠FPQ＝90°,∴菱形EFPQ是正方形. 知识点3　已知矩形再判定正方形 6.如图,在矩形纸片ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( D ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 7.如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF＝45°.求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形, ∴AE＝AF,∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°,∴∠CFE＝∠CEF＝45°, ∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°, ∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AB＝AD, ∴矩形ABCD是正方形. 8.[改编]学习了正方形的判定之后,徐老师提出问题:要判断一个四边形是正方形,有哪些思路?甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角.乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等.丙同学说:判定四边形的对角线相等,并且互相垂直平分.丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等.上述四名同学的说法中,正确的是( D ) A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丙、丁 9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,则下列结论:①OA＝OD;②AD⊥EF;③AE＋DF＝AF＋DE;④当∠BAC＝90°时,四边形AEDF是正方形. 其中一定正确的结论是( B ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 10.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,∠B＝60°,当边AD∶AB＝　(＋1)∶2　时,四边形AECF是正方形. 11.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是BC边上的中线,E是AD边上一点,过点B作BF∥EC,交AD的延长线于点F,连接BE,CF. (1)求证:△BDF≌△CDE; (2)若DE＝BC,求证:四边形BECF是正方形. 证明:(1)∵AB＝AC,AD是BC边上的中线, ∴BD＝CD.∵BF∥EC,∴∠BFD＝∠CED. 又∵∠BDF＝∠CDE,∴△BDF≌△CDE(AAS). (2)由(1)知△BDF≌△CDE,∴BF＝EC. ∵BF∥EC,∴四边形BFCE是平行四边形. ∵AB＝AC,AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC,即EF⊥BC, ∴▱B