1.3 正方形的性质与判定的综合应用（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

第3课时　正方形的性质与判定的综合应用 知识点　 　正方形的性质与判定 1.下列命题错误的是( C ) A.正方形的对角线互相垂直平分且相等 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.有一个角是直角,且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 2.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为　2　.  3.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先把活动学具制作成如图1所示的菱形,并测得∠B＝60°,接着把活动学具制作成如图2所示的正方形,并测得正方形的对角线AC＝a cm,则图1中对角线AC的长为　a　cm.  4.如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),EG⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.写出线段AG,EG,GF长度之间的数量关系,并说明理由. 解:GE2＋GF2＝AG2.理由如下: ∵四边形ABCD是正方形,∴∠C＝90°. ∵GE⊥DC,GF⊥BC, ∴∠GEC＝90°,∠GFC＝90°, ∴∠GEC＝∠C＝∠GFC＝90°, ∴四边形GECF是矩形,∴EG＝CF. 连接GC.∵四边形ABCD是正方形,∴GC＝AG. 在Rt△GCF中,由勾股定理,得CF2＋GF2＝GC2, ∴EG2＋GF2＝AG2. 5.[教材P26习题第2题改编]如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC. (1)求证:四边形OCED是正方形; (2)若AC＝,则点E到边AB的距离为 　.  解:(1)∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形. 在正方形ABCD中,OD＝OC,∠COD＝90°, ∴▱OCED是正方形. 6.在一次数学课上,张老师出示了一个题目:如图,▱ABCD的对角线相交于点O,过点O作EF垂直于BD分别交AB,CD于点F,E,连接DF,BE.请根据上述条件,写出一个正确结论.其中四位同学写出的结论如下:小青:OE＝OF;小何:四边形DFBE是正方形;小夏:S四边形AFED＝S四边形FBCE;小雨:∠ACE＝∠CAF.这四位同学写出的结论中错误的是( B ) A.小青 B.小何 C.小夏 D.小雨 7.如图,在正方形AFCE中,D是边CE上一点,B是CF延长线上一点,且AB＝AD.若四边形ABCD的面积是24 cm2,则AC的长是　4　cm.  8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D＝90°,∠ABE＝45°,BC＝CD.若AE＝5,CE＝2,则BC的长度为　6　.  9.[邵阳中考]如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠OBC＝∠OCB. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形; (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形,并说明理由. 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC,OB＝OD. ∵∠OBC＝∠OCB,∴OB＝OC,∴AC＝BD, ∴平行四边形ABCD是矩形. (2)AB＝AD(或AC⊥BD,答案不唯一). 理由:略. 10.如图,在正方形ABCD中,动点E在AC上,AF⊥AC,垂足为A,AF＝AE. (1)求证:BF＝DE. (2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变),四边形AFBE是什么特殊四边形?请说明理由. 解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD,∠BAD＝90°. ∵AF⊥AC,∴∠EAF＝90°,∴∠BAF＝∠DAE. 又∵AF＝AE,AB＝AD, ∴△ABF≌△ADE(SAS),∴BF＝DE. (2)四边形AFBE是正方形. 理由:∵E为AC的中点,AB＝BC, ∴BE⊥AC,BE＝AE＝AC. ∵AF＝AE,∴BE＝AF＝AE. ∵BE⊥AC,AF⊥AC,∴BE∥AF, ∴四边形AFBE是平行四边形. 又∵∠FAE＝90°,AF＝AE, ∴▱AFBE是正方形. 11.综合与实践 问题情境: 如图1,E为正方形ABCD内一点,∠AEB＝90°,将Rt△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE'(点A的对应点为C),延长AE交CE'于点F,连接DE. 猜想证明: (1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由; (2)如图2,若DA＝DE,请猜想线段CF与E'F的数量关系并加以证明. 解:(1)四边形BE'FE是正方形. 理由:由旋转的性质可知∠E'＝∠AEB＝90°,∠EBE'＝90°. ∵∠AEB＝90°,∴∠FEB＝90°, ∴四边形BE'FE是矩形. 由旋转可知,BE'＝BE, ∴四边形BE'FE是正方形. (2)CF＝FE'. 证明:过点D作DH⊥AE,垂足为H, 则∠DHA＝90°,∠DAH＋∠ADH＝90°. ∵DA＝DE,∴AH＝AE.