1.1.3 菱形的性质与判定的综合应用（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 知识点1　有关菱形的面积问题 1.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA＝OB,分别以点A,B为圆心、OA的长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,AB,OC.若AB＝2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为( C ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 第1题图 第2题图 2.如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任意一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是( B ) A.2 B. C.3 D. 3.如图,小华剪了两条宽均为的纸条,交叉叠放在一起,且它们的夹角为60°,则它们重叠部分的面积为　2　.  4.如图,在▱ABCD中,EF是对角线AC的垂直平分线,分别与AD,BC交于点E,F. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若AC＝6,AE＝5,求四边形AECF的面积. 解:(1)∵EF是AC的垂直平分线, ∴AC⊥EF,OA＝OC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠OAE＝∠OCF,∠OEA＝∠OFC, ∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE＝FC. ∵AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC,∴▱AECF是菱形. (2)在Rt△AOE中,∵OA＝AC＝3,AE＝5, ∴OE＝4,∴EF＝2OE＝8. 由(1)知四边形AECF是菱形, ∴S菱形AECF＝×6×8＝24. 知识点2　菱形的性质与判定的综合应用 5.如图,四边形ABCD是菱形,E,F是直线AC上两点,AE＝CF.求证:四边形FBED是菱形. 证明:连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴BE＝DF,∠AEB＝∠CFD, ∴BE∥DF,∴四边形FBED是平行四边形. 又∵AC⊥BD,即EF⊥BD,∴▱FBED是菱形. 6.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于点C,BD平分∠ABF,交AE于点D,连接CD. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若∠ADB＝30°,BD＝12,求AD的长. 解:(1)∵AE∥BF, ∴∠DAC＝∠BCA,∠ADB＝∠DBC, ∵AC平分∠BAE,BD平分∠ABF, ∴∠BAC＝∠DAC,∠ABD＝∠DBC, ∴∠BAC＝∠BCA,∠ABD＝∠ADB, ∴AB＝BC,AB＝AD,∴AD＝BC. ∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形. (2)由(1)知四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD. 在Rt△AOD中,∵∠ADO＝30°,OD＝BD＝6, ∴AD＝2OA,由勾股定理得OA＝2, ∴AD＝2OA＝4. 一组平行线＋两个角平分线→两组平行线＋一个角平分线 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E. 求证:四边形AECD是菱形. 解:∵AB∥CD,∴∠DCA＝∠CAE,AE∥CD. ∵CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形. ∵AC平分∠BAD,∴∠DAC＝∠CAE, ∴∠DCA＝∠DAC,∴DC＝AD, ∴▱AECD是菱形. 7.[改编]将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB＝3,则菱形AECF的面积为( C ) A.1 B.2 C.2 D.4 8.[遵义中考]如图,在菱形ABCD中,AB＝5,AC＝6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为( D ) A. B. C.4 D. 高在菱形外部→高在菱形内部 如图,四边形ABCD是菱形,DH⊥AB于点H.若AC＝8 cm,BD＝6 cm,则DH的长是( C ) A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm 9.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,AO＝OC＝8,BO＝DO＝6,P为线段AC上的一个动点. (1)填空:AD＝CD＝　10　;  (2)过点P分别作PM⊥AD于点M,作PH⊥DC于点H.连接PB,在点P运动过程中,PM＋PH＋PB的最小值为　15.6　.  10.[广西中考]如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE＝DF. (1)求证:▱ABCD是菱形; (2)若AB＝5,AC＝6,求▱ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB＝∠AFD＝90°. 又∵BE＝DF,∴△AEB≌△AFD(ASA), ∴AB＝AD,∴▱ABCD是菱