第一章 小专题(三) 几何图形的中点问题（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

小专题(三)　几何图形的中点问题 　　与中点有关的几何问题是初中几何学习过程中的常见问题.此类问题一般都需要巧构辅助线进行求解.下面选取了三种典型的中点问题进行训练,帮助学生提高解答此类问题的能力. 类型1　已知两边中点,构造中位线 1.如图,在矩形ABCD中,E是CB延长线上一个动点,F,G分别为AE,BC的中点,FG与ED相交于点H.连接AG并延长,交DC的延长线于点M.求证: (1)G为AM的中点; (2)HE＝HG. 证明:(1)∵G为BC的中点,∴BG＝CG. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABG＝∠DCB＝90°, ∴∠ABG＝∠MCG＝90°, ∴△ABG≌△MCG(ASA),∴GA＝GM,∴G为AM的中点. (2)连接EM. ∵F为AE的中点,∴FA＝FE,∴FG为△AEM的中位线, ∴FG∥EM,∴∠HGE＝∠MEC. 由(1)知CM＝AB＝CD,且∠DCE＝∠MCE＝90°, ∴△DCE≌△MCE(SAS),∴∠DEC＝∠MEC, ∴∠DEC＝∠HGE,∴HE＝HG. 类型2　已知直角三角形的斜边中点,构造斜边上的中线 2.如图,在△ABC中,BE,CF分别为边AC,AB上的高,D为BC的中点,DM⊥EF于点M.求证:FM＝EM. 证明:连接DE,DF. ∵BE,CF分别为边AC,AB上的高,D为BC的中点, ∴DF＝BC, ∴DF＝DE,即△DEF是等腰三角形. ∵DM⊥EF,∴M是EF的中点,即FM＝EM. 类型3　中点四边形与特殊平行四边形 3.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. (1)如图1,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形. (2)如图2,P是四边形ABCD内一点,且满足PA＝PB,PC＝PD,∠APB＝∠CPD,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.试猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想. (3)若改变(2)中的条件,使∠APB＝∠CPD＝90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明) 解:(1)连接BD. ∵E,H分别为边AB,AD的中点, ∴EH∥BD,EH＝BD. ∵F,G分别为边BC,CD的中点, ∴FG∥BD,FG＝BD, ∴EH∥FG,EH＝FG, ∴中点四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH是菱形. 证明:连接AC,BD. ∵∠APB＝∠CPD, ∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD,即∠APC＝∠BPD. 又∵PA＝PB,PD＝PC, ∴△APC≌△BPD(SAS),∴AC＝BD. ∵E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点, ∴EF＝BD,∴EF＝FG. 又∵四边形EFGH是平行四边形, ∴中点四边形EFGH是菱形. (3)当∠APB＝∠CPD＝90°时,中点四边形EFGH是正方形. ( 优质资源 持续更新 ) 1 / 2 $