第一章 小专题(二) 特殊平行四边形中的折叠问题（课时作业）-2021-2022学年九年级数学上册【课时A计划】北师大版（安徽）

小专题(二)　特殊平行四边形中的折叠问题 　　特殊平行四边形的折叠问题在近几年的中考中屡见不鲜.折叠实质上是一种对称变换,折痕是其对称轴,折叠前后能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应边相等、对应角相等. 类型1　折叠求角度 1.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC'D,C'D与AB交于点E.若∠1＝35°,则∠2的度数为( A ) A.20° B.30° C.35° D.55° 2.如图,将边长为4的菱形ABCD纸片折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处.若折痕EF＝2,则∠A＝( A ) A.120° B.100° C.60° D.30° 3.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF＝　45　°.  类型2　折叠求长度 4.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB＝9,BC＝6,则FC'的长为( D ) A. B.4 C. D.5 5.如图,在矩形纸片ABCD中,AB＝3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处.若∠EAC＝∠ECA,则AC的长是( B ) A.3 B.6 C.4 D.5 6.[凉山州中考]如图,在矩形ABCD中,AD＝12,AB＝8,E是AB上一点,且EB＝3,F是BC上一动点.若将△EBF沿EF对折后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为　10　.  7.[四川甘孜州中考]如图,有一张长方形纸片ABCD,AB＝8 cm,BC＝10 cm,E为CD上一点,将纸片沿AE折叠,BC的对应边B'C'恰好经过点D,则线段DE的长为　5　cm.  8.如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,E是BC边上的一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,BE的长为　3或　.  9.[青岛中考]如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD＝4 cm,则CF的长是为　6－2　cm.  提示:∵E是CD的中点,CD＝AD＝4 cm,∴DE＝CE＝2 cm.在Rt△ADE中,AE＝)cm. 10.如图,在矩形纸片ABCD中,AB＝2,AD＝3,E是AB的中点,F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A'EF,求A'C的最小值. 解:连接CE,∵E是AB的中点,AB＝2, ∴BE＝AE＝1. ∵在矩形ABCD中,∠B＝90°,BC＝AD＝3, ∴CE＝. ∵点A'是由点A沿EF折叠得到的, ∴A'E＝AE＝1,∴由三角形三边间的关系可知当点A'刚好落在CE上时,A'C最短, ∴A'C最短＝CE－A'E＝－1. 类型3　折叠求面积 11.如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.若AB＝4,BC＝8,则△ABF的面积为　6　.  12.将一张宽为6的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示的图形.若重叠部分是一个△ABC,则△ABC面积的最小值是　18　.  13.如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E. (1)求证:△AFE≌△CDE; (2)若AB＝4,BC＝8,求图中阴影部分的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB＝CD,∠B＝∠D＝90°. 由折叠的性质知AB＝AF,∠B＝∠F,∴AF＝CD,∠F＝∠D. 又∵∠AEF＝∠CED, ∴△AFE≌△CDE(AAS). (2)由(1)知△AFE≌△CDE,∴AE＝CE. 设AE＝x,则CE＝x,DE＝8－x. 在Rt△CDE中,由勾股定理得CD2＋DE2＝CE2, ∴42＋(8－x)2＝x2,解得x＝5,即AE＝5, ∴S阴影＝×5×4＝10. 14.[荆州中考]如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于点E;延长PF交AB于点G. 求证:(1)△AFG≌△AFP; (2)△APG为等边三角形. 证明:(1)由折叠可得M,N分别为AD,BC的中点, ∵DC∥MN∥AB,∴F为PG的中点,即PF＝GF. 由折叠可得∠PFA＝∠D＝90°,∴∠GFA＝∠PFA＝90°, 在△AFP和△AFG中, ∴△AFG≌△AFP. (2)∵△AFP≌△AFG,∴AP＝AG,∠2＝∠3. ∵∠1＝∠2,∴∠1＝∠2＝∠3＝30°, ∴∠2＋∠3＝60°,即∠PAG＝60°, ∴△APG为等边三角形. ( 优质资源 持续更新 ) 1 / 3 $