专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

学科网（北京）股份有限公司 专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2022年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性. 三、自主梳理 1．熟悉三角函数的诱导公式，并完成下表（☆☆☆） 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． 2．运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤（☆☆☆） (1) 把求任意角的三角函数值化为求0°~360°角的三角函数值； (2) 把求0°~360°角的三角函数值化为求0°~90°角的三角函数值； (3) 求0°~90°角的三角函数值． 3.同角三角函数的基本关系（☆☆☆） (1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2) 商数关系：tanα＝． 4．常用的等价变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tanα＝⇒ 四、高频考点+重点题型 考点一、诱导公式 例1-1（统一角：小角或已知角） 已知α是第三象限角，且f(α)＝． (1)若cos＝，求f(α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 解析：f(α)＝＝－cosα． (1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－． ∵ α是第三象限的角， ∴ cosα＝－＝－． ∴f(α)＝－cosα＝． (2) f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－． 对点训练1. 设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝____. 解析：∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝＝. 例1-2（含相同变量的复合角之间关系） 已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值． 解析：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)， 由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0， 所以sin(75°+α)=． 因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-， 所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= ． 对点训练1.已知，求的值． 解析：因为，， 所以原式= = =． 考点二、同角三角函数基本关系式 例2-1（知一求二） （2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若，为钝角，则的值为_____(用表示). 【答案】(亦可) 【解析】 由题知，再根据得，进而得. 【详解】 因为，为钝角， 所以， 又因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 对点训练1.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 对点训练2.【多选题】若，且为锐角，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 ，且为锐角， ，故正确， ，故正确， ，故错误， ，故错误. 故选：. 例2-2（弦切互化） （2020·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____. 【答案】3 【解析】 【分析】 将=2左端分子分母同除以，得，解得， . 故答案为：； 对点训练1.（2021·河南高三其他模拟（理））若，则_______________________. 【答案】 【解析】 利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值. 【详解】 因为， 所以. 故答案为： 例2-3（和差积商相互转换） （2019·山东高三期末（理））已知，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】 由题意知， ，① ，即， ，为钝角，， ， ， ，② 由①②解得， ，故选B. 对点训练1.（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知，且，则________． 【答案】 【解析】 已知等式平方求得，利用可解得，注意由已知条件判断出，从而得正确结论． 【详