1.1 集合的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念

（基础知识+基本题型）

知识点一   元素与集合的概念及符号表示

1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.

2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.

3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

4. 元素与集合的符号表示：通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素.

知识拓展

 （1）集合的三个特性：

    ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.

   ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.

③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.

（2）集合的分类：

   根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.

①有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.

②无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.

知识点二   集合中元素的特性

元素的特性	理 解
确定性	给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
互异性	一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
无序性	集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.

知识拓展

 集合中元素特性的应用

（1）确定性的应用：确定性是判断一组对象是否形成集合的标准，给定一个集合，则任何一个对象都能明确它是否为这个集合的元素，如“著名的科学家”中“著名的”是一个含糊不清的概念，没有统一的标准，所以它不能构成一个集合.

（2）互异性的应用：在同一个集合中，没有相同的元素，因而可以根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验，如一元二次方程的根组成的集合只含有一个元素1.

（3）无序性的应用：无序性主要应用在判断两个集合是否相等，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的，如集合和是相等的.

知识点三  元素与集合的关系

关系	含义	记法	示例
属于	是集合中的元素，就说属于集合		所有正实数构成的集合记为，则，
不属于	不是集合中的元素，就说不属于集合

知识拓展

 对元素与集合关系的理解：

（1）或取决于是不是集合的元素，根据集合中元素的确定性，知对任何因素与集合，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立.

（2）符号“”与“”是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要切记.

知识点四  常用的数集及其记法

数集	含义	记法
非负整数集（自然数集）	全体非负整数组成的集合	Ｎ
正整数集	所有正整数组成的集合	Ｎ＊或Ｎ+
整数集	全体整数组成的集合	Ｚ
有理数集	全体有理数组成的集合	Ｑ
实数集	全体实数组成的集合	Ｒ

知识拓展

   常用的数集及其记法应注意的问题：

（1）通常情况下，大写英文字母Ｎ，Ｎ＊，Ｎ+，Ｚ，Ｑ，Ｒ不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”的局面.

（2）对于上述常用的数集的意义是约定俗成的，解题中作为已知使用，不必重述它们的意义.

（3）对常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，并且书写要规范.

（4）要记住0是最小的自然数.

知识点五  集合的表示方法

1. 自然语言法

自然语言	用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
示例	不大于10的正整数组成的集合

2. 列举法

列举法	把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法
一般形式
示例	“中国古代四大发明”组成的集合用列举法表示为｛火药，造纸术，活字印刷，指南针｝

3. 描述法

描述法	用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法是，在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征
一般形式	，其中是表示集合元素的一般符号，是这个集合中元素的共同特征
示例	不等式的解集用描述法表示为

知识拓展

（1）对于元素的个数确定的集合或元素的个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.

用列举法表示集合时应注意：