【导学案】1.4 充分条件与必要条件-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 1.4 充分条件与必要条件 学习目标 教材考点 学习目标 核心素养 充分条件、必要条件的概念 理解充分条件、必要条件、充要条件的概念 数学抽象 充分条件、必要条件的判断 结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 逻辑推理 充分条件、必要条件的应用 掌握证明充要条件的一般方法 逻辑推理 知识梳理 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 名师导学 知识点1 充分、必要、充要条件的判断 【例】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 反思感悟　 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 变式训练 1．已知条件p：－1<x<1，条件q：x≥－2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.依题意可知p⇒q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选A. 2．“x>a”是“x>|a|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若a≥0，由x>|a|得x>a，若a<0，则由x>|a|得x>－a，此时x>－a>a成立，即必要性成立，当a<0时，不妨设a＝－1，则由x>－1，不一定推出x>|－1|，即充分性不成立，则“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选B. 3．“x<2”是“<0”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由<0得x－2<0得x<2，即“x<2”是“<0”的充要条件，故选A. 知识点2 充分、必要、充要条件的探求 【例】(1)不等式1－＞0成立的充分不必要条件是(　　) A．x＞1 B．x＞－1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞0 (2)1＜2x＋2＜8的一个必要不充分条件是(　　) A．－＜x＜3 B．－1＜x＜6 C．－＜x＜0 D．－3＜x＜ 【解析】　(1)由1－＞0可得＜1，解得x＞1或x＜0， 结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x＞1. (2)求解不等式1＜2x＋2＜8可得－＜x＜3， 结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是－1＜x＜6. 【答案】　(1)A　(2)B 反思感悟　 (1)探求一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时，往往可以先找到其成立的充要条件，然后通过对充要条件的范围放大或缩小，得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件． (2)如果p是q的充分不必要条件，那么p并不是唯一的，可以有多个；同样，如果p是q的必要不充分条件，那么p也不是唯一的，可以有多个；但如果p是q的充要条件，那么p是唯一的．　 变式训练 1．使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 答案　A 解析　 只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. 2．设a是实数，则a＜5成立的一个必要不充分条件是(　　) A．a＜6 B．a＜4 C．a2＜25 D.＞ 解析：